Example 5. For the differential equation \( y^{2}+x^{2} \frac{d y}{d x}=0 \), we found that the solution \( y(x) \equiv 0 \) was a singular point and this solution can not be obtain from the general solution \( y(x)=\frac{x}{(x-1)} \) by any choice of the constant \( c \).

b. Find the difierential equation that is satisfed by the family of functions \( y(x)=c_{1} x+c_{2} x^{2} \), where \( c_{1}, c_{2} \) are arbitrary constants. 2. Find the general solution of \( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 e^{-t} \).

Calculate \( \frac{d y}{d x} \) if \( y=\left(\frac{1}{x}\right)^{3 x^{2}+2} \) with the aid of logarithmic differentiation.

- 6 Ein Skiabfahrtsläufer legt in der Zeit \( t \) die Strecke \( s(t)=1,5 t^{2} \) zurück ( \( t \) in Sekunden nach dem Stat, \( s(t) \) in Meter). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit fünt Sekunden nach dem Start. Berechnen Sie durch lineare Näherung mithilfe dieser Geschwindigkeit näherungsweise die nach sechs Sekunden zurückgelegte Strecke. Bestimmen Sie die Abweichung zu \( s \) (6). b) Zu welchem Zeitpunkt nach dem Start hat der Skifahrer die Geschwindigkeit \( 36 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \) ? c) Wann ist der Skifahrer 96 m weit gefahren? ?

Partie B Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction \( f \) est définie sur par \( \left[0 ;+\infty\left[: f(x)=(x+1) e^{-\frac{1}{2} x}\right.\right. \). 1) a] Justifier que, pour tout réel \( x \) positif, \( f(x)=2\left(\frac{\frac{1}{2} x}{e^{\frac{1}{2} x}}\right)+e^{-\frac{1}{2} x} \).

Find the antiderivative of \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7 \)