\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique $$ f $$ de la variable \ réelle $$ x $$ définie sur $$ \mathbb{R} $$ par : $$ f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} $$ \ 1. a) Montrer que : $$ f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} $$ pour tout \ $$ x \geq 0 $$, puis dresser le tableau de variations de la \ fonction $$ f $$ sur $$ \mathbb{R} $$. \ a) Montrer que : $$ f([0 ; 1] \subset[0 ; 1[ $$. \ \hline 2. a) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ (E): f(x)=x $$. \ b) Montrer que : $$ f(x)x $$ pour tout élément \ $$ x $$ de l'intervalle $$ [0 ; 1[ $$. \end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique $$ f $$ de la variable \ réelle $$ x $$ définie sur $$ \mathbb{R} $$ par : $$ f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} $$ \ 1. a) Montrer que : $$ f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} $$ pour tout \ $$ x \geq 0 $$, puis dresser le tableau de variations de la \ fonction $$ f $$ sur $$ \mathbb{R} $$. \ a) Montrer que : $$ f([0 ; 1] \subset[0 ; 1[ $$. \ \hline 2. a) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation $$ (E): f(x)=x $$. \ b) Montrer que : $$ f(x)>x $$ pour tout élément \ $$ x $$ de l'intervalle $$ [0 ; 1[ $$. \end{tabular}

Griffin Adkins · Accepted Answer

**1. a) Dérivée et variations de $$ f(x) $$:** La fonction $$ f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 3} $$ est **croissante** pour $$ x \geq 0 $$ et atteint son minimum en $$ x = 0 $$ avec $$ f(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$. **1. b) Inclusion de l'image de $$[0 ; 1[$$ par $$ f $$ dans $$[0 ; 1[$$:** Pour tout $$ x \in [0 ; 1[ $$, $$ f(x) $$ est dans $$[0 ; 1[$$. **2. a) Résolution de $$ f(x) = x $$:** La solution de l'équation $$ f(x) = x $$ est $$ x = 1 $$. **2. b) Inégalité $$ f(x) > x $$ pour $$ x \in [0 ; 1[ $$:** Pour tout $$ x $$ dans $$[0 ; 1[ $$, $$ f(x) $$ est strictement supérieur à $$ x $$.

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