Clarke Flynn
11/13/2023 · Escuela primaria

\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique \( f \) de la variable \\ réelle \( x \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} \) \\ 1. a) Montrer que : \( f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} \) pour tout \\ \( x \geq 0 \), puis dresser le tableau de variations de la \\ fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \). \\ a) Montrer que : \( f([0 ; 1] \subset[0 ; 1[ \). \\ \hline 2. a) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( (E): f(x)=x \). \\ b) Montrer que : \( f(x)>x \) pour tout élément \\ \( x \) de l'intervalle \( [0 ; 1[ \). \end{tabular}

Solución ThothAI de Upstudy

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**1. a) Dérivée et variations de \( f(x) \):** La fonction \( f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 3} \) est **croissante** pour \( x \geq 0 \) et atteint son minimum en \( x = 0 \) avec \( f(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). **1. b) Inclusion de l'image de \([0 ; 1[\) par \( f \) dans \([0 ; 1[\):** Pour tout \( x \in [0 ; 1[ \), \( f(x) \) est dans \([0 ; 1[\). **2. a) Résolution de \( f(x) = x \):** La solution de l'équation \( f(x) = x \) est \( x = 1 \). **2. b) Inégalité \( f(x) > x \) pour \( x \in [0 ; 1[ \):** Pour tout \( x \) dans \([0 ; 1[ \), \( f(x) \) est strictement supérieur à \( x \).

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