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Questions

France
Exercice 1. Soit \[ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \] la base canonique de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) et soit \( f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) l'endomorphisme de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) tel que, en base canonique, \[ f\left(\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right]\right)=\left(\left[\begin{array}{cc} x_{1}+2 x_{3} & 2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}-2 x_{4} \\ -x_{3} & -2 x_{3}+x_{4} \end{array}\right]\right) \] (a) Montrer que \[ \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) \] où \( \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \) est la matrice associée à \( f \) dans la base canonique. (b) Déterminer le polynôme caractéristique \( \chi_{f}(x) \). (c) Déterminer les valeurs propres de \( f \), leurs multiplicités algébriques et montrer que l'endomorphisme \( f \) est diagonalisable. (d) Déterminer une base \( \mathcal{B}^{\prime} \) de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \) formée de vecteurs propres de \( \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \), la matrice de changement de base \( P:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) \) et la matrice diagonale \( D:=\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f) \) telles que \[ \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right)\right)^{-1} \mu_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \mu_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}\left(\operatorname{Id}_{\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})}\right) \] Autrement dit, \[ D=P^{-1} A P \] où \( A=\mu_{\mathcal{B}, B}(f) \).
Other Jan 20, 2025
vantes, soyez le premier à entourer sui- toutes celles qui correspondent à des suites arithmétiques. \( \begin{array}{ll}\text { a. } u_{n}=4 n-7 & \text { b. } u_{n}=2-3 n \\ \text { c. } u_{n}=3 n^{2}+1 & \text { d. } u_{n}=37 n \\ \text { e. } u_{n}=n & \text { f. } u_{n}=-2,5 \\ \text { g. } u_{n}=\frac{n}{10} & \text { h. } u_{n}=\frac{10}{n} \\ \text { i. } u_{n+1}=0,2 u_{n} & \text { j. } u_{n+1}=0,2+u_{n} \\ \text { k. } u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2} & \text { I. } u_{n+1}=\frac{1}{2}+u_{n} \\ \text { m. } u_{n+1}=u_{n}-3 & \text { n. } u_{n+1}=1-u_{n}\end{array} \)
Algebra Jan 20, 2025
\( \begin{array}{lll}\text { Exercice 12: Calculer: } \\ \mathbf{A}=\mathbf{3}^{2}+\mathbf{4}^{2} \quad B=3 \times 4^{2} \quad C=5^{3}-4^{3} & D=5^{3}-\left(2^{4}+7,5\right) \\ E=2 \times(-4)^{2}+3 \times(-1)^{3} \quad F=-7^{2}-3 \times(-2)^{3} & G=0,2 \times 10^{4}-\left(-2^{2}\right)^{2} \times 32-15^{0} \\ H=(-3)^{2}-5 \times 2^{2} \quad I=-3^{2}+4 \times 2^{3} & J=\frac{-1}{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{7^{2}}{3^{4}} \\ K=2^{3} \times(-9)+3^{3}-\left(5^{2}+2^{-1}\right) & \end{array} \)
Algebra Jan 19, 2025
Exercice 12: Calculer: \( \begin{array}{lll}\mathbf{A}=3+\mathbf{4}^{2} \quad B=3 \times 4^{2} & C=5^{3}-4^{3} & D=5^{3}-\left(2^{4}+7,5\right) \\ E=2 \times(-4)^{2}+3 \times(-1)^{3} \quad F=-7^{2}-3 \times(-2)^{3} & G=0,2 \times 10^{4}-\left(-2^{-2}\right)^{2} \times 32-15^{0} \\ H=(-3)^{2}-5 \times 2^{2} & I=-3^{2}+4 \times 2^{3} & J=\frac{-1}{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{7^{2}}{3^{4}} \\ K=2^{3} \times(-9)+3^{3}-\left(5^{2}+2^{-1}\right) & \end{array} \)
Algebra Jan 19, 2025
Exercice 11: Exprimer chaque nombre à l'aide d'une puissance: \( \begin{array}{lllll}\text { a) } \frac{1}{81} & \text { b) } \frac{1}{16} & \text { c) } \frac{1}{36} & \text { d) } 0,25 & \text { e) } 0,1\end{array} \)
Pre Algebra Jan 19, 2025
Exercice 10: Donner P'écriture fractionnaire des nombres suivants: \( \begin{array}{llll}\text { a) } 2^{-4} & \text { b) } 5^{-2} & \text { c) } 10^{-3} & \text { d) } 0,1^{-2} \\ \text { e) }(-3)^{-3} & \text { f) }(-11)^{-2} & \text { g) }-4^{-3} & \text { h) } 16^{-1}\end{array} \)
Algebra Jan 19, 2025
Exercice 10: Donner I'écriture fractionnaire des nombres suivants: \( \begin{array}{llll}\text { a) } 2^{-4} & \text { b) } 5^{-2} & \text { c) } 10^{-3} & \text { d) } 0,1^{-2} \\ \text { e) }(-3)^{-3} & \text { f) }(-11)^{-2} & \text { g) }-4^{-3} & \text { h) } 16^{-1}\end{array} \)
Algebra Jan 19, 2025
46 ABC est un triangle tel que: \( \mathrm{BC}=3,3 \mathrm{~cm} \); \( A C=2,4 \mathrm{~cm} \) et \( \mathrm{AB}=2,5 \mathrm{~cm} \). a. Réalise une figure. Place le point \( D \) sur \( [\mathrm{AC} \) ) tel ue \( C D=6 \mathrm{~cm} \), et le point \( E \) sur \( [B C \) ) tel que \( F=9 \mathrm{~cm} \). Explique pourquoi les droites (ED)
Geometry Jan 19, 2025
E. Écris chaque nombre en notation scientifique. a. \( 95200= \) b. \( 6= \) c. \( 1512,67= \) d. \( 46,31= \) e. \( 0,673= \) f. \( 0,006= \) g. \( 0,00058= \) h. \( 0,0107= \)
Arithmetic Jan 19, 2025
Trouvez l'aire comprise entre les courbes \( y = \frac{x}{2} \) et \( y = 4 - x \) sur l'intervalle \( [0, 4] \).
Calculus Jan 19, 2025
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