1ple 3: Prove that \( (A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} \) (i) Using Venn diagrams (ii) rigorously

Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \).

Find the rank of matrix A by using the row echelon form. \( A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 5\end{array}\right] \)

Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \). Select one:

Determina si la siguiente matriz es invertible y en caso de que sea cierto, encontrar su matriz inversa: \[ A=\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\right) \]

Considere la frase: "Todos los estudiantes en el curso aprobaron el examen o realizaron el proyecto final." Donde: \( s(x): " x \) es estudiante en el curso." \( e(x) \) : "X aprobo el examen." \( p(x) \) : "x realizó el proyecto final." ¿Cuál de las siguientes expresiones en lógica proposicional representa correctamente esta afirmación? \( \forall x(s(x) \rightarrow(c(x) \vee p(x))) \) \( \forall x(s(x) \wedge(e(x) \vee p(x))) \) \( \exists x(s(x) \vee(e(x) \rightarrow p(x))) \) \( \exists x(s(x) \wedge(e(x) \vee p(x))) \)