Determina si la siguiente matriz es invertible y en caso de que sea cierto, encontrar su matriz inversa: \[ A=\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\right) \]

Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \).

\[ F(x, y, z)=(x-y, z) \] . Determinare la controimmagine di \( (2,2) \) sotto l'azione di \( F \). (i) Determinare una base e la dimensione di Im \( F \) e di Ker \( F \). (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) \).

Explain the difference between exponential growth and exponential decay.

Esercizio 13.5 Si consideri l'applicazione \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) tale che \[ F(x, y, z)=(x-y, z) . \] Determinare la controimmagine di \( (2,2) \) sotto l'azione di \( F \). (i) Determinare una base e la dimensione di \( \operatorname{Im} F \) e di Ker \( F \). (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) \). Svolgimento \( \{(2+t, t, 2) \mid t \in \mathbb{R}\} \). Risolvendo il relativo sistema si trovano infinite soluzioni date da

[The most general such \( R \) is \( U \sqrt{A} \), where \( U \) is some isometry.] 6- Let \( x_{1}, \ldots, x_{n} \) be \( n \) vectors. Let \( G \) be a matrix with elements \( G_{i j}=\left(x_{i}, x_{j}\right) \). Show that \( G \) is a positive matrix. [ \( G \) is called the Gram matrix.]