4. Find eigen values and eigen vectors of the matrix \( \left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right) \) 5. Prove that \( r^{n} \vec{r} \) is an irrotational for any value of \( n \) but is solenoidal if \( n+3=0 \).

b. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen} x \cos x)^{6} d x \)

f) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x+x^{2}}{(\sin x)^{3}+2 x} \)

Aufgabe 5 (4 Punkte, zum präzisen Aufschrieb). Seien \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) beschränkte R-wertige Folgen. Zeigen Sie: 1. \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \) 2. \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \)

Apartir de la función \( f(x)=x^{3}+2 x^{2}-\mathbf{1 1 x - 1 2} \); Determina a) Las intersecciones con los ejes, (eje " \( x \) " y eje " \( y \) ") - Ira Derivada \( \quad 3 x^{2}+4 x-11 \)

7. Calcular \( \frac{d}{d x} \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t \) \( \begin{array}{ll}\ln t & \text { b) } \frac{1}{t} \\ \text { c) } \frac{1}{x} & \text { d) } \frac{\ln x}{x}\end{array} \)