(b) Prove that between any two real roots of \( e^{x} \cos 2 x=2 \), there is at least one real root of \( e^{x} \sin 2 x=1 \).

The enclosed area of the gra ph of the function \( Y=\left[x^{2}\right] \) and \( x \)-ares \( x=-2 \) to \( x=2 \) which is? \( 10-4(\sqrt{x}+\sqrt{2}) \) \( 10-5(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \) \( 10-2(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \) \( 10-8(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \)

Exercice 2. On souhaite étudier la fonction \( f \) définic par \[ f(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln \left(1+e^{x}\right) \] On notera \( \mathcal{C}_{f} \) la courbe représentative de \( f \). a) Déterminer l'ensemble de définition ct de dérivabilité de \( f \). b) Calculer \( \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \). Que peut-on en déduire concernant une asymptote (éventuelle) à \( \mathcal{C}_{f} \) en c) Caleuler \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \). d) On veut dans cette question déterminer l'asymptote cn \( +\infty \) (i) Montrer que, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a \( f(x)-1+x=\frac{-1}{1+e^{x}}-\ln \left(1+e^{-x}\right) \). (iii) En déduire \( \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-1+x) \).

\( \frac { \sqrt[ 3 ] { ( ( x _ { 0 } + \Delta x ) - 1 ) ^ { 2 } + \sqrt[ 3 ] { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } } } { \Delta x \cdot ( \sqrt[ 3 ] { x _ { 0 } - 1 } + \sqrt[ 3 ] { x _ { 0 } - 1 } ) } \)

The enclosed area of the graph of the function \( y=\left[x^{2}\right] \) and \( x \)-ares \( x=-2+0 x=2 \) which is? \( 10-4(\sqrt{2}+\sqrt{2}) \) \( 10-5(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \) \( 10-2(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \) \( 10-8(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \)

\( \frac { \sqrt[ 3 ] { ( ( x _ { 0 } + \Delta x ) - 1 ) ^ { 2 } + \sqrt[ 3 ] { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } } } { \Delta x \cdot ( \sqrt[ 3 ] { x _ { 0 } - 1 } + \sqrt[ 3 ] { x _ { 0 } - 1 } ) } \)