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03/21/2024 · Elementary School

Exercice 2. On souhaite étudier la fonction \( f \) définic par \[ f(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln \left(1+e^{x}\right) \] On notera \( \mathcal{C}_{f} \) la courbe représentative de \( f \). a) Déterminer l'ensemble de définition ct de dérivabilité de \( f \). b) Calculer \( \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \). Que peut-on en déduire concernant une asymptote (éventuelle) à \( \mathcal{C}_{f} \) en c) Caleuler \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \). d) On veut dans cette question déterminer l'asymptote cn \( +\infty \) (i) Montrer que, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a \( f(x)-1+x=\frac{-1}{1+e^{x}}-\ln \left(1+e^{-x}\right) \). (iii) En déduire \( \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-1+x) \).