ersidad ca de abi ercicios: \[ y^{\prime \prime}=\frac{y^{\prime 2}}{y} \] En cada caso reduzca el orden de la ecuación diferencial y calcule la solución. ii. \( y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0 \)

Partie II- Comportement à l'infini des solutions de \( :(E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \) Soi \( f \) une solution non nulle de \( (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \). On note \( q: t \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \frac{1}{1+t^{2}} \). 3. Justifier à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, que pour tout \( t \in \mathbb{R},\left(f(t), f^{\prime}(t)\right) \neq(0,0) \). 4. En déduire qu'il existe deux applications \( r \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) telles que \[ \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f(t)=r(t) \cos (\theta(t)) \text { et } f^{\prime}(t)=r(t) \sin (\theta(t)) \text {. } \] 5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin 2 \). En déduire la monotonie de \( r \). (c) Etudier les variations de \( t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) \) et en déduire que \( 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp (\operatorname{arctar} \) que \( r \) a une limite strictement positive en \( +\infty \). Démontrer que \( f \) et \( f^{\prime} \) sont bornées .

5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin ^{2} \theta \). En déduire la monotonie de \( r \).

49) \( y=\sqrt{x} \quad f^{(3)} \)

اعثر على المساحة المحصورة بين المنحنيين \( p(x) = x^4 - 4x^2 \) و \( q(x) = 2x \) عندما يتداخلان عند عدد أكبر من نقطتين.

In exercises 18 to 22 , find the limit, If the limit does not exist, justify your answe (18) Limit of the function \( f(x)=\frac{|x-3|}{x-3} \) as \( x \) tends to 3 )rom the right: