On considère la fonction $$ f $$ définie sur $$ \mathbb{R}^{\prime} $$ par: $$ f(x)=x-1-\frac{x}{e^{s}-x-1} $$. (1) - a-Calculer $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$ et $$ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) $$. b-Calculer $$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) $$ et $$ \lim _{\lim _{0} f(x) .} $$ (2) - Calculer: $$ \left(\forall x \in \mathbb{R}^{\prime}\right): f^{\prime}(x) $$, puis dresser le tableau de variations de $$ f $$

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### (1) Calcul des limites

#### a) Calcul de $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$

La fonction est donnée par :

$$
f(x) = x - 1 - \frac{x}{e^s - x - 1}
$$

Pour $$ x $$ tendant vers $$ +\infty $$, analysons chaque terme :

1. Le terme $$ x - 1 $$ tend vers $$ +\infty $$.
2. Le terme $$ \frac{x}{e^s - x - 1} $$ peut être simplifié. Pour $$ x $$ très grand, $$ e^s - x - 1 $$ devient négatif et tend vers $$ -\infty $$. Donc, $$ \frac{x}{e^s - x - 1} $$ tend vers $$ 0 $$.

Ainsi, nous avons :

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty
$$

#### b) Calcul de $$ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) $$

Pour $$ x $$ tendant vers $$ 0^{+} $$, nous avons :

$$
f(0) = 0 - 1 - \frac{0}{e^s - 0 - 1} = -1
$$

Donc :

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = -1
$$

### (2) Calcul de la dérivée $$ f'(x) $$

Pour calculer la dérivée de $$ f(x) $$, nous allons utiliser la règle de dérivation. La fonction $$ f(x) $$ peut être réécrite comme :

$$
f(x) = x - 1 - \frac{x}{e^s - x - 1}
$$

Calculons la dérivée :

$$
f'(x) = 1 - \left( \frac{(e^s - x - 1)(1) - x(-1)}{(e^s - x - 1)^2} \right)
$$

Simplifions cela :

$$
f'(x) = 1 - \frac{e^s - x - 1 + x}{(e^s - x - 1)^2} = 1 - \frac{e^s}{(e^s - x - 1)^2}
$$

### Tableau de variations de $$ f $$

Pour dresser le tableau de variations, nous devons analyser le signe de $$ f'(x) $$.

1. **Pour $$ x $$ très grand** : $$ f'(x) $$ est négatif car $$ e^s $$ est constant et $$ (e^s - x - 1)^2 $$ devient très grand.
2. **Pour $$ x $$ proche de $$ 0 $$** : $$ f'(x) $$ est positif car $$ e^s $$ est constant et $$ (e^s - x - 1)^2 $$ est petit.

Nous avons donc :

- $$ f'(x) > 0 $$ pour $$ x $$ proche de $$ 0 $$
- $$ f'(x) < 0 $$ pour $$ x $$ très grand

Cela signifie que $$ f(x) $$ est croissante sur $$ (0, a) $$ et décroissante sur $$ (a, +\infty) $$ où $$ a $$ est le point où $$ f'(x) = 0 $$.

### Conclusion

1. $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty $$
2. $$ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = -1 $$
3. La dérivée $$ f'(x) $$ est donnée par $$ f'(x) = 1 - \frac{e^s}{(e^s - x - 1)^2} $$.
4. Le tableau de variations montre que $$ f $$ est croissante puis décroissante.
Pour la fonction $$ f(x) = x - 1 - \frac{x}{e^s - x - 1} $$: 1. **Limites**: - $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$ - $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = -1 $$ 2. **Dérivée**: $$ f'(x) = 1 - \frac{e^s}{(e^s - x - 1)^2} $$ 3. **Tableau de variations**: - $$ f(x) $$ est croissante pour $$ x $$ proche de $$ 0 $$ - $$ f(x) $$ est décroissante pour $$ x $$ très grand Donc, la fonction $$ f $$ atteint un maximum local près de $$ x = 0 $$ et diminue ensuite.

On considère la fonction définie sur par: .
(1) - a-Calculer et .
b-Calculer et
(2) - Calculer: , puis dresser le tableau de variations de

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(1) Calcul des limites

a) Calcul de

b) Calcul de

(2) Calcul de la dérivée

Tableau de variations de

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On considère la fonction définie sur par: . (1) - a-Calculer et . b-Calculer et (2) - Calculer: , puis dresser le tableau de variations de