9. $$ K=\int_{L}^{(0 ; 0)}\left(2 x y+y^{2}\right) d x-2(x+y) d y $$ L là đường gấp khúc khép kín ABCA vc

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Để tính giá trị của tích phân $$ K = \oint_{L} \left(2xy + y^{2}\right) dx - 2(x + y) dy $$, nơi $$ L $$ là đường gấp khúc khép kín ABCA, chúng ta có thể áp dụng Định lý Green. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Bước 1: Áp dụng Định lý Green

Định lý Green chuyển đổi tích phân đường thành tích phân kép trên miền giới hạn bởi đường gấp khúc:

$$
K = \iint_{D} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dA
$$

Trong đó:
- $$ M = 2xy + y^{2} $$
- $$ N = -2(x + y) $$

### Bước 2: Tính các đạo hàm riêng

Tính các đạo hàm riêng cần thiết:

$$
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -2x - 2y \right) = -2
$$

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2xy + y^{2} \right) = 2x + 2y
$$

### Bước 3: Thay vào Định lý Green

Thay các giá trị đạo hàm vào công thức Định lý Green:

$$
K = \iint_{D} \left( -2 - (2x + 2y) \right) dA = \iint_{D} \left( -2x - 2y - 2 \right) dA
$$

### Bước 4: Xác định miền tích phân $$ D $$

Để tính giá trị cụ thể của $$ K $$, chúng ta cần biết các tọa độ của các điểm $$ A $$, $$ B $$, và $$ C $$ để xác định miền $$ D $$. Giả sử các điểm này được cho, bạn có thể xác định giới hạn của tích phân kép dựa trên hình dạng của miền $$ D $$.

**Ví dụ:** Nếu miền $$ D $$ là một hình tam giác với các đỉnh tại $$ A(x_1, y_1) $$, $$ B(x_2, y_2) $$, và $$ C(x_3, y_3) $$, bạn có thể thiết lập giới hạn tích phân phù hợp và tính toán.

### Bước 5: Tính tích phân kép

Sau khi xác định được miền $$ D $$ và thiết lập giới hạn tích phân, bạn thực hiện tích phân kép để tìm giá trị của $$ K $$.

### Kết luận

Nếu không có thông tin cụ thể về tọa độ các điểm $$ A $$, $$ B $$, và $$ C $$, chúng ta chỉ có thể biểu thị $$ K $$ dưới dạng tích phân kép như trên. Để có kết quả chính xác, cần biết rõ hơn về hình dạng và vị trí của miền $$ D $$.
Để tính giá trị của tích phân $$ K = \oint_{L} \left(2xy + y^{2}\right) dx - 2(x + y) dy $$ trên đường gấp khúc khép kín ABCA, ta sử dụng Định lý Green. Kết quả là $$ K = \iint_{D} \left( -2x - 2y - 2 \right) dA $$, trong đó $$ D $$ là miền giới hạn bởi đường gấp khúc ABCA. Để tìm giá trị cụ thể của $$ K $$, cần biết tọa độ các điểm A, B, và C để xác định miền $$ D $$ và thực hiện tích phân kép.

9. \( K=\int_{L}^{(0 ; 0)}\left(2 x y+y^{2}\right) d x-2(x+y) d y \) L là đường gấp khúc khép kín ABCA vc

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions