As taxas de crescimento para uma população são descritas pela equação $$ \frac{dP}{dt} = rP $$ onde $$ P $$ é a população e $$ r $$ é a taxa de crescimento. Determine a função $$ P(t) $$ se $$ P(0) = P_0 $$.

Question

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A equação diferencial dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos usar o método de separação de variáveis.

A equação é:

$$
\frac{dP}{dt} = rP
$$

Podemos reescrever isso como:

$$
\frac{dP}{P} = r \, dt
$$

Agora, integramos ambos os lados:

$$
\int \frac{dP}{P} = \int r \, dt
$$

A integral do lado esquerdo é:

$$
\ln |P| + C_1
$$

E a integral do lado direito é:

$$
rt + C_2
$$

Assim, temos:

$$
\ln |P| = rt + C
$$

onde $$ C = C_2 - C_1 $$ é uma constante de integração. Exponenciando ambos os lados, obtemos:

$$
|P| = e^{rt + C} = e^C e^{rt}
$$

Podemos substituir $$ e^C $$ por uma nova constante $$ K $$, então temos:

$$
P = K e^{rt}
$$

Agora, para determinar a constante $$ K $$, usamos a condição inicial $$ P(0) = P_0 $$:

$$
P(0) = K e^{r \cdot 0} = K
$$

Portanto, $$ K = P_0 $$. Assim, a função $$ P(t) $$ que descreve a população em função do tempo é:

$$
P(t) = P_0 e^{rt}
$$
A função $$ P(t) $$ que descreve a população em função do tempo é $$ P(t) = P_0 e^{rt} $$.

As taxas de crescimento para uma população são descritas pela equação \( \frac{dP}{dt} = rP \) onde \( P \) é a população e \( r \) é a taxa de crescimento. Determine a função \( P(t) \) se \( P(0) = P_0 \).

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