جد المساحة المحدرة بالدالة alca $$ f(x)=x^{4}-3 x^{2}-4 $$ ]

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. نبدأ بحساب نقاط التقاطع مع محور $$ x $$ من خلال حل المعادلة  
   $$
   f(x)=x^4-3x^2-4=0.
   $$

2. نلاحظ أن المعادلة تحتوي على حدود زوجية، لذا نضع $$ u=x^2 $$ فيصبح لدينا:
   $$
   u^2-3u-4=0.
   $$

3. نحل المعادلة التربيعية بالنسبة لـ$$ u $$ باستخدام صيغة الجذر:
   $$
   u=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}.
   $$
   فتصبح الجذور:
   - $$ u=\frac{3+5}{2}=4 $$
   - $$ u=\frac{3-5}{2}=-1 $$

4. بما أن $$ u=x^2 $$ يجب أن يكون غير سالب، نستبعد $$ u=-1 $$، فيتبقى:
   $$
   x^2=4 \quad \Rightarrow \quad x=-2 \text{ أو } x=2.
   $$

5. إذن تكون نقاط التقاطع مع محور $$ x $$ عند $$ x=-2 $$ و$$ x=2 $$.

6. تتحقق التناظرية في الدالة (دالة زوجية)؛ كما أن قيمة الدالة عند $$ x=0 $$ هي:
   $$
   f(0)=-4,
   $$
   أي أن الدالة تقع أسفل محور $$ x $$ في الفترة $$[-2,2]$$. لذا تكون المساحة المحصورة مع محور $$ x $$ هي:
   $$
   A=\int_{-2}^{2}\left|f(x)\right|dx=\int_{-2}^{2}\big[-f(x)\big]dx.
   $$

7. نظرًا لأن الدالة زوجية، يمكننا حساب التكامل في الفترة $$[0,2]$$ ثم ضرب الناتج في 2:
   $$
   A=2\int_{0}^{2}\big[-(x^4-3x^2-4)\big]dx=2\int_{0}^{2}\Big(-x^4+3x^2+4\Big)dx.
   $$

8. نحسب التكامل:
   $$
   \int \Big(-x^4+3x^2+4\Big)dx=-\frac{x^5}{5}+x^3+4x.
   $$

9. نحسب قيم التكامل من $$ x=0 $$ إلى $$ x=2 $$:
   $$
   \left[-\frac{(2)^5}{5}+(2)^3+4(2)\right]-\left[-\frac{0^5}{5}+0^3+4(0)\right]=\left[-\frac{32}{5}+8+8\right]=-\frac{32}{5}+16.
   $$
   حيث:
   $$
   -\frac{32}{5}+16=\frac{-32+80}{5}=\frac{48}{5}.
   $$

10. إذن تكون المساحة للتكامل من $$ 0 $$ إلى $$ 2 $$ هي $$\frac{48}{5}$$، والمساحة الإجمالية تساوي:
    $$
    A=2\cdot\frac{48}{5}=\frac{96}{5}.
    $$

$$
\boxed{\frac{96}{5}}
$$
المساحة المحددة بواسطة الدالة $$ f(x)=x^{4}-3x^{2}-4 $$ بين المحورين $$ x=-2 $$ و$$ x=2 $$ تساوي $$ \frac{96}{5} $$ وحدات مربعة.

جد المساحة المحدرة بالدالة alca
]

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions

جد المساحة المحدرة بالدالة alca ]