3. Calculer les limites aux bornes de $$ D_{f} $$ 4. Démontrer que la droite $$ (\Delta): y=\frac{x+5}{2} $$ est asymptote a la eourbe $$ \left(\mathcal{C}_{f}\right) $$ 5. Etudier la position relative de $$ \left(\mathcal{C}_{f}\right) $$ et $$ (\Delta) $$ 6. Etuder les variations et dresser le tableau de variation de la fonction 7. Déterminer les coordonnêes des points de la courbe $$ \left(\mathcal{C}_{f}\right) $$ où la tangente est paralléle a la droite $$ (\Delta) $$ 8. Déterminer une équation de la tangente au point dabscisse $$ x_{0}=1 $$. 9. construire $$ \left(\mathcal{C}_{f}\right),(\Delta) $$ et les tangentes précédentes.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Bonjour ! Pour répondre efficacement à vos questions, j'aurais besoin de connaître l'expression de la fonction $$ f $$ ainsi que son domaine de définition $$ D_{f} $$. Cependant, je vais vous fournir une méthodologie générale pour aborder chaque point que vous avez listé. Une fois que vous aurez précisé la fonction $$ f $$, je pourrai donner des réponses plus détaillées et spécifiques.

### 3. Calculer les limites aux bornes de $$ D_{f} $$

**Méthodologie :**
- Identifiez les valeurs de $$ x $$ aux frontières de $$ D_{f} $$.
- Calculez les limites de $$ f(x) $$ lorsque $$ x $$ tend vers ces bornes.
- Utilisez les règles de calcul de limites (factoring, rationalisation, etc.) selon la nature de $$ f $$.

**Exemple Générique :**
Si $$ D_{f} = \mathbb{R} \setminus \{a\} $$, calculez :
$$
\lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^+} f(x)
$$

### 4. Démontrer que la droite $$ (\Delta) : y = \frac{x+5}{2} $$ est asymptote à la courbe $$ \mathcal{C}_{f} $$

**Méthodologie :**
- Vérifiez que $$ \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - \frac{x+5}{2} \right) = 0 $$.
- Cela implique que $$ \frac{x+5}{2} $$ se comporte comme une asymptote oblique à $$ \mathcal{C}_{f} $$.

### 5. Étudier la position relative de $$ \mathcal{C}_{f} $$ et $$ (\Delta) $$

**Méthodologie :**
- Résolvez l'équation $$ f(x) = \frac{x+5}{2} $$ pour trouver les points d'intersection éventuels.
- Analysez le signe de $$ f(x) - \frac{x+5}{2} $$ pour déterminer quand $$ \mathcal{C}_{f} $$ est au-dessus ou en dessous de $$ (\Delta) $$.

### 6. Étudier les variations et dresser le tableau de variation de la fonction

**Méthodologie :**
- Calculez la dérivée $$ f'(x) $$.
- Trouvez les points critiques où $$ f'(x) = 0 $$ ou n'est pas définie.
- Déterminez le signe de $$ f'(x) $$ pour chaque intervalle délimité par les points critiques.
- Établissez le tableau de variation en conséquence (croissance, décroissance, maximums, minimums).

### 7. Déterminer les coordonnées des points de la courbe $$ \mathcal{C}_{f} $$ où la tangente est parallèle à la droite $$ (\Delta) $$

**Méthodologie :**
- Calculer la pente de $$ (\Delta) $$, ici $$ m = \frac{1}{2} $$.
- Trouvez les points où la dérivée de $$ f $$, $$ f'(x) $$, est égale à $$ \frac{1}{2} $$.
- Pour chaque $$ x $$ trouvé, calculez $$ y = f(x) $$ pour obtenir les coordonnées des points.

### 8. Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $$ x_{0} = 1 $$

**Méthodologie :**
- Calculez $$ y_{0} = f(1) $$.
- Calculez la dérivée $$ f'(1) $$ qui donne la pente de la tangente au point $$ x = 1 $$.
- Utilisez la formule de la tangente :
$$
y - y_{0} = f'(1)(x - 1)
$$

### 9. Construire $$ \mathcal{C}_{f} $$, $$ (\Delta) $$ et les tangentes précédentes

**Méthodologie :**
- Tracez la courbe de la fonction $$ f $$ en utilisant le tableau de variations et les points d'intérêt obtenus précédemment.
- Ajoutez la droite $$ (\Delta) : y = \frac{x+5}{2} $$ sur le graphique pour visualiser son rôle d'asymptote.
- Tracez les tangentes déterminées aux points spécifiques, par exemple celle au point d'abscisse $$ x_0 = 1 $$ et celles parallèles à $$ (\Delta) $$.

---

**Remarque :** Pour fournir des calculs spécifiques et précis, veuillez indiquer l'expression exacte de la fonction $$ f $$ et son domaine de définition $$ D_{f} $$. Cela me permettra de développer les points ci-dessus de manière détaillée et adaptée à votre exercice.
Pour répondre à vos questions, j'ai besoin de connaître l'expression de la fonction $$ f $$ et son domaine de définition $$ D_{f} $$. Une fois que vous me fournirez ces informations, je pourrai vous donner des réponses détaillées et spécifiques pour chaque point.

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