3. Calculer les limites aux bornes de \( D_{f} \) 4. Démontrer que la droite \( (\Delta): y=\frac{x+5}{2} \) est asymptote a la eourbe \( \left(\mathcal{C}_{f}\right) \) 5. Etudier la position relative de \( \left(\mathcal{C}_{f}\right) \) et \( (\Delta) \) 6. Etuder les variations et dresser le tableau de variation de la fonction 7. Déterminer les coordonnêes des points de la courbe \( \left(\mathcal{C}_{f}\right) \) où la tangente est paralléle a la droite \( (\Delta) \) 8. Déterminer une équation de la tangente au point dabscisse \( x_{0}=1 \). 9. construire \( \left(\mathcal{C}_{f}\right),(\Delta) \) et les tangentes précédentes.

Bonjour ! Pour répondre efficacement à vos questions, j'aurais besoin de connaître l'expression de la fonction \( f \) ainsi que son domaine de définition \( D_{f} \). Cependant, je vais vous fournir une méthodologie générale pour aborder chaque point que vous avez listé. Une fois que vous aurez précisé la fonction \( f \), je pourrai donner des réponses plus détaillées et spécifiques. ### 3. Calculer les limites aux bornes de \( D_{f} \) **Méthodologie :** - Identifiez les valeurs de \( x \) aux frontières de \( D_{f} \). - Calculez les limites de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers ces bornes. - Utilisez les règles de calcul de limites (factoring, rationalisation, etc.) selon la nature de \( f \). **Exemple Générique :** Si \( D_{f} = \mathbb{R} \setminus \{a\} \), calculez : \[ \lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) \] ### 4. Démontrer que la droite \( (\Delta) : y = \frac{x+5}{2} \) est asymptote à la courbe \( \mathcal{C}_{f} \) **Méthodologie :** - Vérifiez que \( \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - \frac{x+5}{2} \right) = 0 \). - Cela implique que \( \frac{x+5}{2} \) se comporte comme une asymptote oblique à \( \mathcal{C}_{f} \). ### 5. Étudier la position relative de \( \mathcal{C}_{f} \) et \( (\Delta) \) **Méthodologie :** - Résolvez l'équation \( f(x) = \frac{x+5}{2} \) pour trouver les points d'intersection éventuels. - Analysez le signe de \( f(x) - \frac{x+5}{2} \) pour déterminer quand \( \mathcal{C}_{f} \) est au-dessus ou en dessous de \( (\Delta) \). ### 6. Étudier les variations et dresser le tableau de variation de la fonction **Méthodologie :** - Calculez la dérivée \( f'(x) \). - Trouvez les points critiques où \( f'(x) = 0 \) ou n'est pas définie. - Déterminez le signe de \( f'(x) \) pour chaque intervalle délimité par les points critiques. - Établissez le tableau de variation en conséquence (croissance, décroissance, maximums, minimums). ### 7. Déterminer les coordonnées des points de la courbe \( \mathcal{C}_{f} \) où la tangente est parallèle à la droite \( (\Delta) \) **Méthodologie :** - Calculer la pente de \( (\Delta) \), ici \( m = \frac{1}{2} \). - Trouvez les points où la dérivée de \( f \), \( f'(x) \), est égale à \( \frac{1}{2} \). - Pour chaque \( x \) trouvé, calculez \( y = f(x) \) pour obtenir les coordonnées des points. ### 8. Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse \( x_{0} = 1 \) **Méthodologie :** - Calculez \( y_{0} = f(1) \). - Calculez la dérivée \( f'(1) \) qui donne la pente de la tangente au point \( x = 1 \). - Utilisez la formule de la tangente : \[ y - y_{0} = f'(1)(x - 1) \] ### 9. Construire \( \mathcal{C}_{f} \), \( (\Delta) \) et les tangentes précédentes **Méthodologie :** - Tracez la courbe de la fonction \( f \) en utilisant le tableau de variations et les points d'intérêt obtenus précédemment. - Ajoutez la droite \( (\Delta) : y = \frac{x+5}{2} \) sur le graphique pour visualiser son rôle d'asymptote. - Tracez les tangentes déterminées aux points spécifiques, par exemple celle au point d'abscisse \( x_0 = 1 \) et celles parallèles à \( (\Delta) \). --- **Remarque :** Pour fournir des calculs spécifiques et précis, veuillez indiquer l'expression exacte de la fonction \( f \) et son domaine de définition \( D_{f} \). Cela me permettra de développer les points ci-dessus de manière détaillée et adaptée à votre exercice.