$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n ^ { n } } { ( \ln ( n ) ) ^ { n } } $$

Question

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Para analizar la convergencia de la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(\ln(n))^n} $$, podemos utilizar la prueba de la razón.

Consideremos el término general de la serie:

$$
a_n = \frac{n^n}{(\ln(n))^n}
$$

Ahora, calculemos el cociente de términos sucesivos:

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(\ln(n+1))^{n+1}} \cdot \frac{(\ln(n))^n}{n^n}
$$

Simplificando esto, tenemos:

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^{n+1}}
$$

Descomponiendo el primer término:

$$
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \frac{(n+1)^{n} \cdot (n+1)}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
$$

Sabemos que $$ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n $$ tiende a $$ e $$ cuando $$ n $$ tiende a infinito. Por lo tanto, para grandes $$ n $$:

$$
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \sim e(n+1)
$$

Ahora, consideremos el segundo término:

$$
\frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^{n+1}} = \frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^n \cdot \ln(n+1)} = \left( \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \right)^n \cdot \frac{1}{\ln(n+1)}
$$

Para $$ n $$ grande, $$ \ln(n+1) \sim \ln(n) $$, así que:

$$
\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \to 1
$$

Por lo tanto, el cociente se comporta como:

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} \sim e(n+1) \cdot \frac{1}{\ln(n+1)} \sim \frac{e(n+1)}{\ln(n)}
$$

Ahora, al tomar el límite cuando $$ n \to \infty $$:

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e(n+1)}{\ln(n)} = \infty
$$

Dado que el límite es infinito, por la prueba de la razón, la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$ diverge.

Por lo tanto, la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(\ln(n))^n} $$ diverge.
La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(\ln(n))^n} $$ diverge.

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