En los ejercicios 5 a 8, encontrar la solución general de la ecuación diferencial y verificar el resultado mediante derivación. $$ \begin{array}{ll} ext { 5. } \frac{d y}{d t}=9 t^{2} & ext { 6. } \frac{d r}{d heta}=\pi \ ext { 7. } \frac{d y}{d x}=x^{3 / 2} & ext { 8. } \frac{d y}{d x}=2 x^{-3}\end{array} $$

Question

En los ejercicios 5 a 8, encontrar la solución general de la ecuación diferencial y verificar el resultado mediante derivación. $$ \begin{array}{ll}	ext { 5. } \frac{d y}{d t}=9 t^{2} & 	ext { 6. } \frac{d r}{d 	heta}=\pi \ 	ext { 7. } \frac{d y}{d x}=x^{3 / 2} & 	ext { 8. } \frac{d y}{d x}=2 x^{-3}\end{array} $$

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Claro, resolveremos cada una de las ecuaciones diferenciales del 5 al 8, encontrando su solución general y verificando el resultado mediante derivación.

### **5. $$ \frac{dy}{dt} = 9 t^{2} $$**

**Solución General:**

Para encontrar $$ y(t) $$, integramos ambos lados respecto a $$ t $$:

$$
y(t) = \int 9 t^{2} \, dt = 9 \cdot \frac{t^{3}}{3} + C = 3 t^{3} + C
$$

**Verificación mediante derivación:**

Derivamos $$ y(t) $$ respecto a $$ t $$:

$$
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (3 t^{3} + C) = 9 t^{2}
$$

Esto coincide con la ecuación diferencial original, por lo que la solución es correcta.

---

### **6. $$ \frac{dr}{d\theta} = \pi $$**

**Solución General:**

Integramos ambos lados respecto a $$ \theta $$:

$$
r(\theta) = \int \pi \, d\theta = \pi \theta + C
$$

**Verificación mediante derivación:**

Derivamos $$ r(\theta) $$ respecto a $$ \theta $$:

$$
\frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (\pi \theta + C) = \pi
$$

Esto coincide con la ecuación diferencial original, confirmando que la solución es correcta.

---

### **7. $$ \frac{dy}{dx} = x^{3/2} $$**

**Solución General:**

Integramos ambos lados respecto a $$ x $$:

$$
y(x) = \int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C
$$

**Verificación mediante derivación:**

Derivamos $$ y(x) $$ respecto a $$ x $$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{5} x^{5/2} + C \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} x^{3/2} = x^{3/2}
$$

Esto coincide con la ecuación diferencial original, confirmando la solución.

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### **8. $$ \frac{dy}{dx} = 2 x^{-3} $$**

**Solución General:**

Integramos ambos lados respecto a $$ x $$:

$$
y(x) = \int 2 x^{-3} \, dx = 2 \cdot \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = -x^{-2} + C = -\frac{1}{x^{2}} + C
$$

**Verificación mediante derivación:**

Derivamos $$ y(x) $$ respecto a $$ x $$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{x^{2}} + C \right) = 2 x^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{x^{3}}
$$

Esto coincide con la ecuación diferencial original, confirmando que la solución es correcta.

---

Por lo tanto, las soluciones generales para las ecuaciones diferenciales 5 a 8 son:

5. $$ y(t) = 3 t^{3} + C $$

6. $$ r(\theta) = \pi \theta + C $$

7. $$ y(x) = \frac{2}{5} x^{5/2} + C $$

8. $$ y(x) = -\frac{1}{x^{2}} + C $$

donde $$ C $$ es la constante de integración en cada caso.
Las soluciones generales para las ecuaciones diferenciales 5 a 8 son: 5. $$ y(t) = 3 t^{3} + C $$ 6. $$ r(\theta) = \pi \theta + C $$ 7. $$ y(x) = \frac{2}{5} x^{5/2} + C $$ 8. $$ y(x) = -\frac{1}{x^{2}} + C $$ donde $$ C $$ es una constante.

En los ejercicios 5 a 8, encontrar la solución general de la ecuación
diferencial y verificar el resultado mediante derivación.

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