En los ejercicios 5 a 8, encontrar la solución general de la ecuación diferencial y verificar el resultado mediante derivación. \( \begin{array}{ll}\text { 5. } \frac{d y}{d t}=9 t^{2} & \text { 6. } \frac{d r}{d \theta}=\pi \\ \text { 7. } \frac{d y}{d x}=x^{3 / 2} & \text { 8. } \frac{d y}{d x}=2 x^{-3}\end{array} \)

Para resolver las ecuaciones diferenciales propuestas, vamos a integrar ambas partes respecto a sus respectivas variables. 5. Dada la ecuación \(\frac{d y}{d t} = 9 t^{2}\): \[ y = \int 9 t^{2} \, dt = 3 t^{3} + C \] donde \(C\) es la constante de integración. Para verificar, derivamos \(y\): \[ \frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t}(3 t^{3} + C) = 9 t^{2}, \] confirmando que la solución es correcta. 6. Para \(\frac{d r}{d \theta} = \pi\): \[ r = \int \pi \, d\theta = \pi \theta + C. \] Derivando, obtenemos: \[ \frac{d r}{d \theta} = \frac{d}{d \theta}(\pi \theta + C) = \pi, \] lo que valida la solución. 7. En el caso de \(\frac{d y}{d x} = x^{3/2}\): \[ y = \int x^{3/2} \, dx = \frac{2}{5} x^{5/2} + C. \] Verificando la derivada: \[ \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}\left(\frac{2}{5} x^{5/2} + C\right) = x^{3/2}, \] lo que confirma la solución. 8. Finalmente, para \(\frac{d y}{d x} = 2 x^{-3}\): \[ y = \int 2 x^{-3} \, dx = -\frac{2}{2} x^{-2} + C = -x^{-2} + C. \] Comprobando, derivamos: \[ \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(-x^{-2} + C) = 2 x^{-3}, \] confirmando así la solución. ¡Y ahí lo tienes! Las soluciones generales y sus verificaciones están al día.