3 Individua le coordinate del vertice \( A \) di un triangolo isoscele \( A B C \) sapendo che \( A \) appartiene alla retta di equarione \( 2 x-y+1=0 \) e che gli estremi della base hanno coordinate \( B(2 ; 0) \) e \( C(-2 ; 4) \). wa a passi (1) In un triangolo isoscele, l'altezza e la mediana relative alla base coincidono, quindi il vertice \( A \) appartic- ne all asse di \( B C \). Trova lequazione di tale retta. (2) Determina \( A \), sapendo che è il punto di intersezione tra lasse di \( B C \) e la retta data.

Certamente! Ecco la soluzione passo per passo al problema proposto. **Problema:** Individua le coordinate del vertice \( A \) di un triangolo isoscele \( ABC \) sapendo che \( A \) appartiene alla retta di equazione \( 2x - y + 1 = 0 \) e che gli estremi della base hanno coordinate \( B(2, 0) \) e \( C(-2, 4) \). ### Passo 1: Trovare l'equazione dell'asse relativo alla base \( BC \) In un triangolo isoscele, l'altezza relativa alla base coincide con la mediana relativa alla base. Questo significa che il vertice \( A \) si trova sull'asse di \( BC \). **a. Calcolare il punto medio \( M \) del segmento \( BC \):** Le coordinate di \( B \) e \( C \) sono rispettivamente \( B(2, 0) \) e \( C(-2, 4) \). \[ M_x = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 \] \[ M_y = \frac{0 + 4}{2} = 2 \] Quindi, il punto medio \( M \) ha coordinate \( M(0, 2) \). **b. Determinare la pendenza della retta \( BC \):** La pendenza \( m_{BC} \) della retta \( BC \) si calcola come: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 0}{-2 - 2} = \frac{4}{-4} = -1 \] **c. Determinare la pendenza dell'asse relativo alla base \( BC \):** L'asse relativo a \( BC \) è l'altezza/mediana e pertanto è perpendicolare alla retta \( BC \). La pendenza \( m_{\text{asse}} \) di una retta perpendicolare a \( m_{BC} \) è il negativo reciproco di \( m_{BC} \): \[ m_{\text{asse}} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-1} = 1 \] **d. Scrivere l'equazione dell'asse relativo a \( BC \):** Utilizzando il punto medio \( M(0, 2) \) e la pendenza \( m = 1 \), l'equazione della retta è: \[ y - y_M = m(x - x_M) \Rightarrow y - 2 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x + 2 \] ### Passo 2: Determinare le coordinate del vertice \( A \) Il vertice \( A \) appartiene sia alla retta data \( 2x - y + 1 = 0 \) sia all'asse relativo a \( BC \) con equazione \( y = x + 2 \). Quindi, \( A \) è il punto di intersezione di queste due rette. **a. Scrivere il sistema di equazioni:** \[ \begin{cases} 2x - y + 1 = 0 \\ y = x + 2 \end{cases} \] **b. Risolvere il sistema di equazioni:** Sostituiamo \( y \) dalla seconda equazione nella prima: \[ 2x - (x + 2) + 1 = 0 \\ 2x - x - 2 + 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \\ x = 1 \] **c. Calcolare \( y \):** Sostituendo \( x = 1 \) nella seconda equazione: \[ y = 1 + 2 = 3 \] **Conclusione:** Le coordinate del vertice \( A \) sono \( A(1, 3) \).