Seja \( f(x)=\exp \left(-x^{2}+a x+a^{2}\right), x \in \mathbb{R} \), onde \( a \) é uma constante. Determine o valor de \( a \), tal que \( x=11 \) seja um ponto de máximo local e absoluto da função \( f \).

Para encontrar o valor de \( a \) tal que \( x = 11 \) seja um ponto de máximo local e absoluto da função \( f(x) = \exp(-x^2 + ax + a^2) \), precisamos seguir alguns passos. Primeiro, vamos encontrar a derivada de \( f(x) \) e igualá-la a zero, pois um ponto crítico ocorre quando \( f'(x) = 0 \). A derivada de \( f(x) \) é dada pela regra da cadeia: \[ f'(x) = \exp(-x^2 + ax + a^2) \cdot (-2x + a). \] Para que \( x = 11 \) seja um ponto crítico, precisamos que \[ -2(11) + a = 0 \implies a = 22. \] Agora, precisamos verificar se é um máximo. Para isso, calculamos a segunda derivada de \( f \) e avaliamos em \( x = 11 \). A segunda derivada é: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\exp(-x^2 + ax + a^2)(-2x + a)\right). \] Usando a regra do produto e derivando, obtemos: \[ f''(x) = \exp(-x^2 + ax + a^2)\left((-2x + a)^2 - 2\right). \] Substituindo \( a = 22 \) e \( x = 11 \): \[ f''(11) = \exp(-11^2 + 22 \cdot 11 + 22^2)((-22 + 22)^2 - 2). \] Como \((-22 + 22) = 0\), \[ f''(11) = \exp(-121 + 242 + 484)(0 - 2) = \exp(605)(-2). \] Como \( f''(11) < 0 \), \( x = 11 \) é um ponto de máximo local. Dessa forma, o valor de \( a \) que torna \( x=11 \) um ponto de máximo local e absoluto de \( f \) é: \[ \boxed{22}. \]