Seja $$ f(x)=\exp \left(-x^{2}+a x+a^{2}\right), x \in \mathbb{R} $$, onde $$ a $$ é uma constante. Determine o valor de $$ a $$, tal que $$ x=11 $$ seja um ponto de máximo local e absoluto da função $$ f $$.

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Para determinar o valor de $$ a $$ tal que $$ x = 11 $$ seja um ponto de máximo local e absoluto da função $$ f(x) = e^{-x^2 + a x + a^2} $$, seguimos os seguintes passos:

1. **Análise da Função Exponencial:**
   A função exponencial $$ f(x) = e^{-x^2 + a x + a^2} $$ é sempre positiva. Portanto, maximizar $$ f(x) $$ é equivalente a maximizar o expoente $$ g(x) = -x^2 + a x + a^2 $$.

2. **Encontrar a Derivada de $$ g(x) $$:**
   $$
   g'(x) = \frac{d}{dx} (-x^2 + a x + a^2) = -2x + a
   $$
   Para que $$ x = 11 $$ seja um ponto de máximo local, devemos ter $$ g'(11) = 0 $$:
   $$
   -2(11) + a = 0 \implies -22 + a = 0 \implies a = 22
   $$

3. **Verificação da Natureza do Ponto Crítico:**
   A segunda derivada de $$ g(x) $$ é:
   $$
   g''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (-x^2 + a x + a^2) = -2
   $$
   Como $$ g''(x) = -2 < 0 $$, isso confirma que $$ x = 11 $$ é um ponto de máximo local.

4. **Confirmação do Máximo Absoluto:**
   A função $$ g(x) = -x^2 + 22x + 22^2 $$ é uma parábola com coeficiente $$ a = -1 $$ (negativo), o que garante que possui um único ponto de máximo, que neste caso é $$ x = 11 $$. Portanto, este ponto é também o máximo absoluto da função em todo o domínio $$ \mathbb{R} $$.

**Conclusão:** O valor de $$ a $$ que satisfaz as condições é $$ a = 22 $$.

**Resposta Final:**
O valor de $$ a $$ que satisfaz as condições é $$ a = 22 $$.
O valor de $$ a $$ é 22.

Seja , onde é uma constante. Determine o valor de , tal que seja um ponto
de máximo local e absoluto da função .

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Seja , onde é uma constante. Determine o valor de , tal que seja um ponto de máximo local e absoluto da função .