50 puntos. Dada la función \( y=x^{4}-8 x^{2}+8 \), Halle a) Intervalos de crecimiento \( y \) decrecimiento b) Máximos y mínimos locales c) Intervalos de concavidad d) Puntos de inflexión e) Bosquejo de la gráfica

Para analizar la función \( y=x^{4}-8x^{2}+8 \), comenzaremos derivando la función para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos locales: **a)** Primero, calculamos la primera derivada: \[ y' = 4x^3 - 16x \] Factorizando: \[ y' = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2) \] Los puntos críticos se encuentran en \( x = -2, 0, 2 \). Analizando el signo de \( y' \): - En \( (-\infty, -2) \), \( y' > 0 \) (creciente) - En \( (-2, 0) \), \( y' < 0 \) (decreciente) - En \( (0, 2) \), \( y' < 0 \) (decreciente) - En \( (2, \infty) \), \( y' > 0 \) (creciente) Por lo tanto, los intervalos son: - Crecimiento: \( (-2, -2) \) y \( (2, \infty) \) - Decrecimiento: \( (-2, 0) \) y \( (0, 2) \) **b)** Para máximos y mínimos, evaluamos la segunda derivada: \[ y'' = 12x^2 - 16 \] Calculamos \( y'' \) en los puntos críticos: - \( y''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 32 > 0 \) (mínimo local) - \( y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 < 0 \) (máximo local) - \( y''(2) = 12(2)^2 - 16 = 32 > 0 \) (mínimo local) Los máximos y mínimos locales son: - Máximo en \( (0, y(0)) = (0, 8) \) - Mínimos en \( (-2, y(-2)) = (-2, 8) \) y \( (2, y(2)) = (2, 8) \) **c)** Para los intervalos de concavidad, analizamos los signos de \( y'' \): \[ y'' < 0 \text{ para } (-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}}) \quad \text{(concavidad hacia abajo)} \] \[ y'' > 0 \text{ para } (-\infty, -\sqrt{\frac{4}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{4}{3}}, \infty) \quad \text{(concavidad hacia arriba)} \] **d)** Los puntos de inflexión se encuentran cuando \( y'' = 0 \): \[ 12x^2 - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155 \] **e)** Para el bosquejo de la gráfica, se puede sintetizar lo aprendido en los pasos anteriores. La función tiene máximos y mínimos definidos y presenta cambios de concavidad. Con puntos críticos y puntos de inflexión, podemos empezar a dibujar una parábola de cuarta, donde entre los máximos y mínimos locales se observará un cambio suave gracias a la concavidad de la función. ¡Y listo! Tendrás un mapa claro de cómo se comporta esta graciosa función.