50 puntos. Dada la función $$ y=x^{4}-8 x^{2}+8 $$, Halle a) Intervalos de crecimiento $$ y $$ decrecimiento b) Máximos y mínimos locales c) Intervalos de concavidad d) Puntos de inflexión e) Bosquejo de la gráfica

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, aquí tienes la solución al problema:

### a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la derivada de la función $$ y $$:

$$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 8) = 4x^3 - 16x $$

Luego, encontramos los puntos críticos donde $$ y' = 0 $$:

$$ 4x^3 - 16x = 0 $$
$$ 4x(x^2 - 4) = 0 $$
$$ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 $$

Los puntos críticos son $$ x = -2, 0, 2 $$.

Para determinar si la función está creciendo o decreciendo en cada intervalo, evaluamos la derivada en puntos dentro de cada intervalo:

- Intervalo $$ (-\infty, -2) $$: tomamos $$ x = -3 $$
  $$ y'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 $$
  La función está decreciendo en este intervalo.

- Intervalo $$ (-2, 0) $$: tomamos $$ x = -1 $$
  $$ y'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 $$
  La función está creciendo en este intervalo.

- Intervalo $$ (0, 2) $$: tomamos $$ x = 1 $$
  $$ y'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 $$
  La función está decreciendo en este intervalo.

- Intervalo $$ (2, \infty) $$: tomamos $$ x = 3 $$
  $$ y'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 $$
  La función está creciendo en este intervalo.

Por lo tanto, los intervalos de crecimiento son $$ (-2, 0) $$ y $$ (2, \infty) $$, y los intervalos de decrecimiento son $$ (-\infty, -2) $$ y $$ (0, 2) $$.

### b) Máximos y mínimos locales

Los puntos críticos donde $$ y' = 0 $$ son posibles máximos o mínimos locales. Evaluamos la función en estos puntos:

- $$ x = -2 $$:
  $$ y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 8 = 16 - 32 + 8 = -8 $$
  Es un máximo local.

- $$ x = 0 $$:
  $$ y(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 8 = 8 $$
  Es un mínimo local.

- $$ x = 2 $$:
  $$ y(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 8 = 16 - 32 + 8 = -8 $$
  Es un máximo local.

Por lo tanto, los máximos locales son en $$ x = -2 $$ y $$ x = 2 $$ con valores $$ y = -8 $$, y el mínimo local es en $$ x = 0 $$ con valor $$ y = 8 $$.

### c) Intervalos de concavidad

Para encontrar los intervalos de concavidad, calculamos la segunda derivada de la función:

$$ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^4 - 8x^2 + 8) = 12x^2 - 16 $$

Luego, encontramos los puntos críticos donde $$ y'' = 0 $$:

$$ 12x^2 - 16 = 0 $$
$$ 12x^2 = 16 $$
$$ x^2 = \frac{4}{3} $$
$$ x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} $$

Evaluamos la segunda derivada en puntos dentro de cada intervalo:

- Intervalo $$ (-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}}) $$: tomamos $$ x = -1 $$
  $$ y''(-1) = 12(-1)^2 - 16 = 12 - 16 = -4 $$
  La función es cóncava en este intervalo.

- Intervalo $$ (-\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}) \
a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Crecimiento en (-2, 0) y (2, ∞), decrecimiento en (-∞, -2) y (0, 2). b) Máximos y mínimos locales: Máximos en x = -2 y 2 con y = -8, mínimo en x = 0 con y = 8. c) Intervalos de concavidad: Cóncava en (-∞, -2/√3) y (2/√3, ∞), convexa en (-2/√3, 2/√3).

50 puntos. Dada la función , Halle
a) Intervalos de crecimiento decrecimiento
b) Máximos y mínimos locales
c) Intervalos de concavidad
d) Puntos de inflexión
e) Bosquejo de la gráfica

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions

50 puntos. Dada la función , Halle a) Intervalos de crecimiento decrecimiento b) Máximos y mínimos locales c) Intervalos de concavidad d) Puntos de inflexión e) Bosquejo de la gráfica