1. Вычислить значение функции f( $$ x)=x^{2}-x^{3}+x^{4}-3 $$ при $$ x=-1 ; 0 ; 2 $$ 2. Найти область определения функций: а) $$ y=\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{2+x}} ; $$ б) $$ y=3 x-4 x^{2} ; $$ в) $$ f(x)=\frac{2-x}{27+x^{3}} ; $$ г) $$ f(t)=\sqrt{\frac{2+t}{3-t}} $$; д) $$ y=\frac{2 x}{x^{2}-5 x-14} $$ 3. Определить чётность/нечётность функции $$ y=\left(x^{4}+3\right) \sqrt{x^{6}-3} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### 1. Вычисление значений функции $$ f(x) = x^{2} - x^{3} + x^{4} - 3 $$ при $$ x = -1, 0, 2 $$ **При $$ x = -1 $$:** $$ f(-1) = (-1)^2 - (-1)^3 + (-1)^4 - 3 = 1 - (-1) + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0 $$ **При $$ x = 0 $$:** $$ f(0) = 0^2 - 0^3 + 0^4 - 3 = 0 - 0 + 0 - 3 = -3 $$ **При $$ x = 2 $$:** $$ f(2) = 2^2 - 2^3 + 2^4 - 3 = 4 - 8 + 16 - 3 = (4 - 8) + (16 - 3) = -4 + 13 = 9 $$ **Итак:** $$ f(-1) = 0, \quad f(0) = -3, \quad f(2) = 9 $$ ### 2. Найти область определения функций #### а) $$ y = \sqrt{-x} + \frac{1}{\sqrt{2 + x}} $$ **Условия существования:** 1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны: $$ -x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0 $$ $$ 2 + x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2 $$ 2. Знаменатель не равен нулю: $$ \sqrt{2 + x} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 2 + x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2 $$ **Объединим условия:** $$ -2 < x \leq 0 $$ **Область определения:** $$ D(y) = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ -2 < x \leq 0 \} $$ #### б) $$ y = 3x - 4x^{2} $$ **Полиномы определены всюду на $$\mathbb{R}$$.** **Область определения:** $$ D(y) = \mathbb{R} $$ #### в) $$ f(x) = \frac{2 - x}{27 + x^{3}} $$ **Условия существования:** Знаменатель не должен равняться нулю: $$ 27 + x^3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 \neq -27 \quad \Rightarrow \quad x \neq \sqrt[3]{-27} = -3 $$ **Область определения:** $$ D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -3 \} $$ #### г) $$ f(t) = \sqrt{\frac{2 + t}{3 - t}} $$ **Условия существования:** 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$ \frac{2 + t}{3 - t} \geq 0 $$ 2. Знаменатель не равен нулю: $$ 3 - t \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq 3 $$ **Анализ неравенства:** $$ \frac{2 + t}{3 - t} \geq 0 $$ Критические точки: $$ t = -2 $$ и $$ t = 3 $$. Разделим числовую ось на интервалы и определим знак дроби: 1. $$ t < -2 $$: $$ 2 + t < 0, \quad 3 - t > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2 + t}{3 - t} < 0 $$ 2. $$ -2 < t < 3 $$: $$ 2 + t > 0, \quad 3 - t > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2 + t}{3 - t} > 0 $$ 3. $$ t > 3 $$: $$ 2 + t > 0, \quad 3 - t < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2 + t}{3 - t} < 0 $$ **Следовательно, неравенство выполняется на:** $$ -2 \leq t < 3 $$ **Область определения:** $$ D(f) = \{ t \in \mathbb{R} \ | \ -2 \leq t < 3 \} $$ #### д) $$ y = \frac{2x}{x^{2} - 5x - 14} $$ **Условия существования:** Знаменатель не должен равняться нулю: $$ x^{2} - 5x - 14 \neq 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 5x -14 = 0 $$ Дискриминант: $$ D = 25 + 56 = 81 $$ Корни: $$ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2} $$ $$ x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 $$ **Область определения:** $$ D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ -2, 7 \} $$ ### 3. Определение чётности/нечётности функции $$ y = \left(x^{4} + 3\right) \sqrt{x^{6} - 3} $$ **Определение чётности:** Функция $$ f(x) $$ называется: - Чётной, если $$ f(-x) = f(x) $$ - Нечётной, если $$ f(-x) = -f(x) $$ - Ни чётной, ни нечётной в остальных случаях **Вычислим $$ f(-x) $$:** $$ f(-x) = \left[ (-x)^4 + 3 \right] \sqrt{(-x)^6 - 3} = \left[ x^4 + 3 \right] \sqrt{x^6 - 3} = f(x) $$ **Проверим:** $$ f(-x) = f(x) \quad \Rightarrow \quad \text{функция чётная} $$ **Также важно учитывать область определения функции:** $$ x^{6} - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^6 \geq 3 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq \sqrt[6]{3} $$ **Таким образом, функция определена при $$ |x| \geq \sqrt[6]{3} $$ и является чётной.** ### Итог 1. Значения функции: $$ f(-1) = 0, \quad f(0) = -3, \quad f(2) = 9 $$ 2. Области определения: - а) $$ -2 < x \leq 0 $$ - б) $$ \mathbb{R} $$ - в) $$ \mathbb{R} \setminus \{ -3 \} $$ - г) $$ -2 \leq t < 3 $$ - д) $$ \mathbb{R} \setminus \{ -2, 7 \} $$ 3. Функция $$ y = \left(x^{4} + 3\right) \sqrt{x^{6} - 3} $$ является чётной. 1. **Значения функции $$ f(x) = x^{2} - x^{3} + x^{4} - 3 $$ при $$ x = -1, 0, 2 $$:** - $$ f(-1) = 0 $$ - $$ f(0) = -3 $$ - $$ f(2) = 9 $$ 2. **Области определения функций:** - **а)** $$ -2 < x \leq 0 $$ - **б)** $$ \mathbb{R} $$ - **в)** $$ \mathbb{R} \setminus \{ -3 \} $$ - **г)** $$ -2 \leq t < 3 $$ - **д)** $$ \mathbb{R} \setminus \{ -2, 7 \} $$ 3. **Чётность функции $$ y = \left(x^{4} + 3\right) \sqrt{x^{6} - 3} $$:** - Функция чётная. **Итого:** - Значения функции при указанных $$ x $$ равны 0, -3 и 9 соответственно. - Области определения для каждой функции определены. - Функция $$ y $$ является чётной.

Вычислить значение функции
f( при

Найти область определения функций:
а)
б)
в)
г) ;
д)

Определить чётность/нечётность функции
.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions

Вычислить значение функции f( при Найти область определения функций: а) б) в) г) ; д) Определить чётность/нечётность функции .