Aufgabe 1 (3 Punkte). Seien $$ a, b, c, d \in \mathbb{R} $$ mit $$ a

Question

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**Aufgabe 1 (3 Punkte)**

1. **Riemann-Integrierbarkeit der Funktion $$ h(x) = |x| $$ auf $$[c, d]$$:**

Die Funktion $$ h(x) = |x| $$ ist auf dem Intervall $$[c, d]$$ stetig, da der Betrag einer reellen Zahl immer stetig ist. Da jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall Riemann-integrierbar ist, folgt, dass $$ h $$ Riemann-integrierbar ist.

2. **Riemann-Integrierbarkeit von $$ |f| $$, wenn $$ f $$ Riemann-integrierbar ist:**

Sei $$ f $$ Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$. Die Absolutwertfunktion ist stetig und somit eine stetige Transformation von $$ f $$. Da die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen bezüglich solcher Transformationen abgeschlossen ist, ist auch $$ |f| $$ Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$.

3. **Riemann-Integrierbarkeit von $$ \min\{f, g\} $$, wenn $$ f $$ und $$ g $$ Riemann-integrierbar sind:**

Die Funktion $$ \min\{f, g\} $$ kann als $$ \min\{f, g\} = \frac{f + g - |f - g|}{2} $$ ausgedrückt werden. Da $$ f $$ und $$ g $$ Riemann-integrierbar sind, sind auch $$ f + g $$ und $$ |f - g| $$ Riemann-integrierbar. Daher ist $$ \min\{f, g\} $$ als Linearkombination Riemann-integrierbar.

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**Aufgabe 2 (6 Punkte)**

1. **Bestimmung der unbestimmten Integrale mittels partieller Integration:**

a) **$$\int \ln^{2}(t) \, dt$$:**

Setze $$ u = \ln^{2} t $$ und $$ dv = dt $$. Dann ist $$ du = \frac{2 \ln t}{t} dt $$ und $$ v = t $$.

$$
   \int \ln^{2} t \, dt = t \ln^{2} t - \int 2 \ln t \, dt
   $$

Nun berechne $$ \int \ln t \, dt $$ ebenfalls durch partielle Integration:

$$
   \int \ln t \, dt = t \ln t - t + C
   $$

Daher:

$$
   \int \ln^{2} t \, dt = t \ln^{2} t - 2(t \ln t - t) + C = t \ln^{2} t - 2 t \ln t + 2 t + C
   $$

b) **$$\int \sin(t) \cos(2t) \, dt$$:**

Verwende die Formel zur Produktumwandlung:

$$
   \sin t \cos 2t = \frac{\sin(3t) + \sin(-t)}{2} = \frac{\sin 3t - \sin t}{2}
   $$

Somit:

$$
   \int \sin t \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \int \sin 3t \, dt - \frac{1}{2} \int \sin t \, dt = -\frac{\cos 3t}{6} + \frac{\cos t}{2} + C
   $$

c) **$$\int \arctan(t) \, dt$$:**

Setze $$ u = \arctan t $$ und $$ dv = dt $$. Dann ist $$ du = \frac{1}{1 + t^{2}} dt $$ und $$ v = t $$.

$$
   \int \arctan t \, dt = t \arctan t - \int \frac{t}{1 + t^{2}} dt
   $$

Setze $$ w = 1 + t^{2} $$, dann $$ dw = 2t \, dt $$, daher:

$$
   \int \frac{t}{1 + t^{2}} dt = \frac{1}{2} \ln|1 + t^{2}| + C
   $$

Also:

$$
   \int \arctan t \, dt = t \arctan t - \frac{1}{2} \ln(1 + t^{2}) + C
   $$

2. **Bestimmung der unbestimmten Integrale mittels Substitution:**

a) **$$\int t e^{-t^{2}} \, dt$$:**

Setze $$ u = -t^{2} $$, dann $$ du = -2t \, dt $$, also $$ -\frac{1}{2} du = t \, dt $$.

$$
   \int t e^{-t^{2}} \, dt = -\frac{1}{2} \int e^{u} \, du = -\frac{1}{2} e^{-t^{2}} + C
   $$

b) **$$\int \frac{3t}{9 + 4t^{2}} \, dt$$:**

Setze $$ u = 9 + 4t^{2} $$, dann $$ du = 8t \, dt $$, also $$ \frac{3}{8} du = 3t \, dt $$.

$$
   \int \frac{3t}{9 + 4t^{2}} \, dt = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{3}{8} \ln|u| + C = \frac{3}{8} \ln(9 + 4t^{2}) + C
   $$

c) **$$\int \frac{\ln t}{t} \, dt$$:**

Setze $$ u = \ln t $$, dann $$ du = \frac{1}{t} dt $$.

$$
   \int \frac{\ln t}{t} \, dt = \int u \, du = \frac{u^{2}}{2} + C = \frac{(\ln t)^{2}}{2} + C
   $$
**Aufgabe 1 (3 Punkte)** 1. Die Funktion $$ h(x) = |x| $$ auf $$[c, d]$$ ist Riemann-integrierbar, da sie stetig ist. 2. Wenn $$ f $$ Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$ ist, dann ist $$ |f| $$ auch Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$. 3. Wenn $$ f $$ und $$ g $$ Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$ sind, dann ist $$ \min\{f, g\} $$ Riemann-integrierbar. --- **Aufgabe 2 (6 Punkte)** 1. **Partielle Integration:** a) $$ \int \ln^{2}(t) \, dt = t \ln^{2} t - 2 t \ln t + 2 t + C $$ b) $$ \int \sin(t) \cos(2t) \, dt = -\frac{\cos 3t}{6} + \frac{\cos t}{2} + C $$ c) $$ \int \arctan(t) \, dt = t \arctan t - \frac{1}{2} \ln(1 + t^{2}) + C $$ 2. **Substitution:** a) $$ \int t e^{-t^{2}} \, dt = -\frac{1}{2} e^{-t^{2}} + C $$ b) $$ \int \frac{3t}{9 + 4t^{2}} \, dt = \frac{3}{8} \ln(9 + 4t^{2}) + C $$ c) $$ \int \frac{\ln t}{t} \, dt = \frac{(\ln t)^{2}}{2} + C $$

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