Soit $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$ la suite numérique définie par: $$ u_{i}=1 $$ ot $$ \left(\forall n \in N^{*}\right) \quad u_{n+1}=\frac{u_{n}-3}{u_{n}+5} $$. 1 calculer $$ u_{2} $$ 2 Montrer que: $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \quad u_{n}-1 $$. 3 (1) Montrer que : $$ \left(\forall n \in N^{*}\right) \quad u_{n+1}-u_{n}=\frac{-\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+3\right)}{u_{n}+5} $$. (2) Étudier la monotonie de la suite $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$. (3) Déduire que : $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \quad-1

Question

Soit $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$ la suite numérique définie par: $$ u_{i}=1 $$ ot $$ \left(\forall n \in N^{*}\right) \quad u_{n+1}=\frac{u_{n}-3}{u_{n}+5} $$. 1 calculer $$ u_{2} $$ 2 Montrer que: $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \quad u_{n}>-1 $$. 3 (1) Montrer que : $$ \left(\forall n \in N^{*}\right) \quad u_{n+1}-u_{n}=\frac{-\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+3\right)}{u_{n}+5} $$. (2) Étudier la monotonie de la suite $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$. (3) Déduire que : $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \quad-1

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### 1. Calculer $$ u_{2} $$ Nous savons que $$ u_{1} = 1 $$. Utilisons la relation de récurrence pour calculer $$ u_{2} $$: $$ u_{2} = \frac{u_{1} - 3}{u_{1} + 5} = \frac{1 - 3}{1 + 5} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$ ### 2. Montrer que $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \quad u_{n} > -1 $$ Nous allons prouver par récurrence que $$ u_n > -1 $$. **Initialisation :** Pour $$ n = 1 $$, $$ u_1 = 1 > -1 $$. **Hérédité :** Supposons que $$ u_n > -1 $$. Montrons que $$ u_{n+1} > -1 $$: $$ u_{n+1} = \frac{u_n - 3}{u_n + 5} $$ Nous voulons montrer que $$ \frac{u_n - 3}{u_n + 5} > -1 $$: $$ \frac{u_n - 3}{u_n + 5} > -1 \implies u_n - 3 > - (u_n + 5) \implies u_n - 3 > -u_n - 5 $$ En simplifiant, nous avons : $$ 2u_n > -2 \implies u_n > -1 $$ Par récurrence, nous avons donc montré que $$ u_n > -1 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$. ### 3. Montrer que $$ u_{n+1} - u_{n} = \frac{-\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+3\right)}{u_{n}+5} $$ Calculons $$ u_{n+1} - u_n $$: $$ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n - 3}{u_n + 5} - u_n $$ Mettons tout sur un même dénominateur : $$ = \frac{u_n - 3 - u_n(u_n + 5)}{u_n + 5} = \frac{u_n - 3 - u_n^2 - 5u_n}{u_n + 5} = \frac{-u_n^2 - 4u_n - 3}{u_n + 5} $$ Factorisons le numérateur : $$ = \frac{-(u_n + 1)(u_n + 3)}{u_n + 5} $$ ### 3.2 Étudier la monotonie de la suite $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$ Nous avons $$ u_{n+1} - u_n = \frac{-\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+3\right)}{u_{n}+5} $$. - Si $$ u_n > -1 $$, alors $$ u_n + 1 > 0 $$ et $$ u_n + 3 > 0 $$. - Donc, $$ u_{n+1} - u_n < 0 $$. Cela signifie que la suite $$ (u_n) $$ est décroissante. ### 3.3 Déduire que $$ -1 < u_n \leq 1 $$ Nous avons montré que $$ u_n > -1 $$ et que la suite est décroissante. Comme $$ u_1 = 1 $$, nous avons $$ u_n \leq 1 $$ pour tout $$ n $$. ### 4. Montrer que $$ \left(v_{n}\right)_{n \geq 1} $$ est une suite géométrique de raison $$ q=\frac{1}{2} $$ et calculer $$ v_{1} $$ Définissons $$ v_n = \frac{u_n + 1}{u_n + 3} $$. Calculons $$ v_1 $$: $$ v_1 = \frac{u_1 + 1}{u_1 + 3} = \frac{1 + 1}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Pour montrer que $$ v_n $$ est géométrique, calculons $$ v_{n+1} $$: $$ v_{n+1} = \frac{u_{n+1} + 1}{u_{n+1} + 3} = \frac{\frac{u_n - 3}{u_n + 5} + 1}{\frac{u_n - 3}{u_n + 5} + 3} $$ Simplifions : $$ = \frac{\frac{u_n - 3 + u_n + 5}{u_n + 5}}{\frac{u_n - 3 + 3(u_n + 5)}{u_n + 5}} = \frac{\frac{2u_n + 2}{u_n + 5}}{\frac{4u_n + 12}{u_n + 5}} = \frac{2u_n + 2}{4u_n + 12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u_n + 1}{u_n + 3} = \frac{1}{2} v_n $$ Ainsi, $$ v_n $$ est une suite géométrique de raison $$ q = \frac{1}{2} $$. ### 4.2 Écrire $$ v_n $$ en fonction de $$ n $$ puis déduire l'expression de $$ u_n $$ en fonction de $$ n $$ Comme $$ v_n = \frac{1}{2^n} v_1 $$, nous avons : $$ v_n = \frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{n+1}} $$ Pour $$ u_n $$: $$ u_n = 3 \cdot v_n - 1 = 3 \cdot \frac{1}{2^{n+1}} - 1 = \frac{3}{2^{n+1}} - 1 $$ ### 5. Vérifier que pour tout $$ k \in \mathbb{N}^{*}: \frac{2}{u_{k}+3}=1-\nu_{k} $$ Calculons $$ \frac{2}{u_k + 3} $$: $$ u_k + 3 = \frac{3}{2^{k+1}} - 1 + 3 = \frac{3}{2^{k+1}} + 2 = \frac 1. Calculer $$ u_{2} $$: \[ u_{2} = \frac{1 - 3}{1 + 5} = -\frac{1}{3} $$ 2. Montrer que $$ u_{n} > -1 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$: - Initialisation: $$ u_1 = 1 > -1 $$. - Hérédité: Si $$ u_n > -1 $$, alors $$ u_{n+1} = \frac{u_n - 3}{u_n + 5} > -1 $$. 3. Montrer que $$ u_{n+1} - u_{n} = \frac{-\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+3\right)}{u_{n}+5} $$: $$ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n - 3}{u_n + 5} - u_n = \frac{-u_n^2 - 4u_n - 3}{u_n + 5} = \frac{-(u_n + 1)(u_n + 3)}{u_n + 5} $$ 4. Montrer que $$ v_n $$ est une suite géométrique de raison $$ q = \frac{1}{2} $$ et calculer $$ v_1 $$: - $$ v_1 = \frac{1}{2} $$ - $$ v_n = \frac{1}{2^{n+1}} $$ - $$ u_n = \frac{3}{2^{n+1}} - 1 $$ 5. Vérifier que $$ \frac{2}{u_k + 3} = 1 - \nu_k $$ et exprimer $$ S_n $$ et $$ T_n $$ en fonction de $$ n $$: - $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \nu_k = n \cdot \frac{1}{2} $$ - $$ T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{u_k + 3} = n \cdot \frac{1}{2} $$

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Solution

1. Calculer

2. Montrer que

3. Montrer que

3.2 Étudier la monotonie de la suite

3.3 Déduire que

4. Montrer que est une suite géométrique de raison et calculer

4.2 Écrire en fonction de puis déduire l’expression de en fonction de

5. Vérifier que pour tout

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