125 Encuentra los valores de los números a y b para que las siguientes funciones sean continuas en tod los números reales. a) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|2-x| & \text { si } x \leq 2 \\ \frac{x}{b} & \text { si } 24\end{array}\right. \) b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2 b x+4 & \text { si } x<1 \\ a x+5 & \text { si } 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{3 x-1}{x} & \text { si } x>2\end{array}\right. \)

Para resolver los problemas de continuidad de las funciones definidas por partes, debemos asegurarnos de que en los puntos de unión (donde cambia la definición de la función) los límites por la izquierda y por la derecha sean iguales y coincidan con el valor de la función en esos puntos. ### a) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|2-x| & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{x}{b} & \text{si } 2 < x \leq 4 \\ a & \text{si } x > 4\end{array}\right. \) **Puntos críticos para la continuidad:** 1. **En \( x = 2 \):** - Límite por la izquierda: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = |2 - 2| = 0 \) - Límite por la derecha: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2}{b} \) Para que exista continuidad en \( x = 2 \): \[ 0 = \frac{2}{b} \implies b \text{ tiende a infinito} \] Esto no es posible para un valor finito de \( b \). 2. **En \( x = 4 \):** - Límite por la izquierda: \( \lim_{x \to 4^-} f(x) = \frac{4}{b} \) - Límite por la derecha: \( \lim_{x \to 4^+} f(x) = a \) Para que exista continuidad en \( x = 4 \): \[ \frac{4}{b} = a \] Sin embargo, ya que no es posible cumplir la condición en \( x = 2 \) con un valor finito de \( b \), **no existen valores reales de \( a \) y \( b \) que hagan que la función sea continua en todos los números reales**. ### b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2bx+4 & \text{si } x < 1 \\ ax+5 & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{3x-1}{x} & \text{si } x > 2\end{array}\right. \) **Puntos críticos para la continuidad:** 1. **En \( x = 1 \):** - Límite por la izquierda: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 2b(1) + 4 = 5 + 2b \) - Límite por la derecha: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1) + 5 = a + 5 \) Para que exista continuidad en \( x = 1 \): \[ 5 + 2b = a + 5 \implies 2b = a \] 2. **En \( x = 2 \):** - Límite por la izquierda: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = a(2) + 5 = 2a + 5 \) - Límite por la derecha: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{3(2) - 1}{2} = \frac{5}{2} \) Para que exista continuidad en \( x = 2 \): \[ 2a + 5 = \frac{5}{2} \implies 2a = \frac{5}{2} - 5 = -\frac{5}{2} \implies a = -\frac{5}{4} \] Usando \( a = 2b \): \[ -\frac{5}{4} = 2b \implies b = -\frac{5}{8} \] **Conclusión:** - **a)** No existen valores reales de \( a \) y \( b \) que hagan que la función sea continua en todos los números reales. - **b)** Los valores que aseguran la continuidad son: \[ a = -\frac{5}{4} \quad \text{y} \quad b = -\frac{5}{8} \] ## Respuesta Final **Problema b)** Para que la función sea continua en todos los reales, los valores deben ser \( a = -\frac{5}{4} \) y \( b = -\frac{5}{8} \). **Problema a)** No existen números reales \( a \) y \( b \) que hagan que la función sea continua en todos los reales.