El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=\frac{10}{(x+1)(x+2)} \), el eje \( x \) y la rectas \( x=0 \) y \( x=1 \), alrededor de la recta \( x=2 \) es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por \( y = \frac{10}{(x+1)(x+2)} \), el eje \( x \), y las rectas \( x = 0 \) y \( x = 1 \), alrededor de la recta \( x = 2 \), utilizaremos el método de los cilindros. ### Paso 1: Fórmula del Volumen por Método de Cilindros La fórmula para el volumen \( V \) mediante cilindros es: \[ V = 2\pi \int_{a}^{b} ( \text{distancia al eje de rotación} ) \times ( \text{altura de la función} ) \, dx \] En este caso: - **Distancia al eje de rotación \( x = 2 \):** \( 2 - x \) - **Altura de la función:** \( \frac{10}{(x+1)(x+2)} \) - **Intervalo de integración:** de \( x = 0 \) a \( x = 1 \) Por lo tanto, la integral se establece como: \[ V = 2\pi \int_{0}^{1} (2 - x) \cdot \frac{10}{(x+1)(x+2)} \, dx \] Simplificando: \[ V = 20\pi \int_{0}^{1} \frac{2 - x}{(x+1)(x+2)} \, dx \] ### Paso 2: Descomposición en Fracciones Parciales Descomponemos la fracción para facilitar la integración: \[ \frac{2 - x}{(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+1} - \frac{4}{x+2} \] ### Paso 3: Integración Sustituyendo la descomposición: \[ V = 20\pi \left( \int_{0}^{1} \frac{3}{x+1} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{4}{x+2} \, dx \right) \] Integrando término a término: \[ \int \frac{3}{x+1} \, dx = 3 \ln|x+1| \] \[ \int \frac{4}{x+2} \, dx = 4 \ln|x+2| \] Evaluando de 0 a 1: \[ V = 20\pi \left[ \left(3 \ln 2 - 4 \ln 3\right) - \left(0 - 4 \ln 2\right) \right] = 20\pi \left(7 \ln 2 - 4 \ln 3\right) \] ### Paso 4: Resultado Final El volumen del sólido de revolución es: \[ V = 20\pi \left(7 \ln 2 - 4 \ln 3\right) \] Si se desea una aproximación numérica: \[ \ln 2 \approx 0.6931 \quad \text{y} \quad \ln 3 \approx 1.0986 \] \[ V \approx 20 \pi (7 \times 0.6931 - 4 \times 1.0986) \approx 20 \pi (4.8517 - 4.3944) \approx 20 \pi (0.4573) \approx 28.7 \, \text{unidades cúbicas} \] **Respuesta Final:** El volumen es 20 veces π por (7 ln 2 menos 4 ln 3). Es decir, V = 20 π ( 7 ln 2 − 4 ln 3 )