اعثر على حجم الجسم الناتج عن دوران المنحنى $$ y = 5 - x^{2} $$ حول المحور العمودي عند $$ x = 6 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحساب حجم الجسم الناتج عن دوران المنحنى $$ y = 5 - x^{2} $$ حول المحور العمودي $$ x = 6 $$، نستخدم طريقة الأصداف.

1. **تحديد الفترة:**
   نلاحظ أن $$ y \geq 0 $$ عندما يكون $$ 5 - x^{2} \geq 0 $$، أي عند $$ -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} $$.

2. **صياغة التكامل:**
   بواسطة طريقة الأصداف، يكون نصف القطر $$ (6 - x) $$ وارتفاع القشرة هو $$ y = 5 - x^{2} $$. لذا يكون حجم الجسم:
   $$
   V = 2\pi \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (6 - x)(5 - x^{2}) \, dx
   $$

3. **تبسيط التكامل:**
   $$
   (6 - x)(5 - x^{2}) = 30 - 6x^{2} - 5x + x^{3}
   $$
   $$
   V = 2\pi \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (30 - 6x^{2} - 5x + x^{3}) \, dx
   $$

لاحظ أن الحدين $$ -5x $$ و $$ x^{3} $$ هما حدود فردية وتتكاملان إلى الصفر عند التكامل من $$ -\sqrt{5} $$ إلى $$ \sqrt{5} $$.

4. **حساب التكامل:**
   $$
   V = 2\pi \left[ 30x - 2x^{3} \right]_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} = 2\pi \left( 20\sqrt{5} - (-20\sqrt{5}) \right) = 80\pi\sqrt{5}
   $$

**إذن، حجم الجسم الناتج هو:**
$$
V = 80\pi\sqrt{5} \ \text{وحدة حجم}
$$
حجم الجسم الناتج عن دوران المنحنى $$ y = 5 - x^{2} $$ حول المحور العمودي عند $$ x = 6 $$ هو $$ 80\pi\sqrt{5} $$ وحدات حجم.

اعثر على حجم الجسم الناتج عن دوران المنحنى \( y = 5 - x^{2} \) حول المحور العمودي عند \( x = 6 \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions