Calcular el límite de la función de varias variables: \( \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-4)} \frac{x+4}{x^{2} y-x y+4 x^{2}-4 x} \)

Para calcular el límite de la función de varias variables \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-4)} \frac{x+4}{x^{2} y - x y + 4 x^{2} - 4 x}, \] primero evaluamos el numerador y el denominador en el punto \((2, -4)\). 1. **Numerador:** \[ x + 4 \quad \text{evaluado en} \quad (2, -4) \quad \Rightarrow \quad 2 + 4 = 6. \] 2. **Denominador:** \[ x^{2} y - x y + 4 x^{2} - 4 x \quad \text{evaluado en} \quad (2, -4). \] Sustituyendo \(x = 2\) y \(y = -4\): \[ 2^{2}(-4) - 2(-4) + 4(2^{2}) - 4(2). \] Calculamos cada término: \[ 4(-4) - 2(-4) + 4(4) - 8 = -16 + 8 + 16 - 8 = 0. \] El denominador se evalúa a 0, lo que indica que el límite puede ser indeterminado. Para resolver esto, intentamos simplificar la expresión. Observamos que el denominador se puede reescribir: \[ x^{2} y - x y + 4 x^{2} - 4 x = xy(x - 1) + 4x(x - 1) = (xy + 4x)(x - 1). \] Ahora, evaluamos el límite de la función: \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-4)} \frac{x + 4}{(xy + 4x)(x - 1)}. \] Sustituyendo \(x = 2\) y \(y = -4\) en el nuevo denominador: \[ xy + 4x = 2(-4) + 4(2) = -8 + 8 = 0. \] Esto significa que el denominador sigue siendo 0. Por lo tanto, necesitamos un enfoque diferente, como cambiar a coordenadas polares o evaluar el límite a lo largo de diferentes trayectorias. Probemos con la trayectoria \(y = -4\): \[ \lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{x^2(-4) - x(-4) + 4x^2 - 4x} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{-4x^2 + 4x + 4x^2 - 4x} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{0} \quad \text{(indeterminado)}. \] Probemos ahora con la trayectoria \(x = 2\): \[ \lim_{y \to -4} \frac{2 + 4}{2^2 y - 2y + 4(2^2) - 4(2)} = \lim_{y \to -4} \frac{6}{4y - 2y + 16 - 8} = \lim_{y \to -4} \frac{6}{2y + 8}. \] Sustituyendo \(y = -4\): \[ \frac{6}{2(-4) + 8} = \frac{6}{-8 + 8} = \frac{6}{0} \quad \text{(indeterminado)}. \] Dado que el límite es indeterminado en ambas trayectorias, podemos concluir que el límite no existe. Por lo tanto, el resultado final es: \[ \text{El límite no existe.} \]