Calcular el límite de la función de varias variables:

Ask by Norris Zimmerman. in Ecuador

Dec 09,2024

Question

Calcular el límite de la función de varias variables: $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-4)} \frac{x+4}{x^{2} y-x y+4 x^{2}-4 x} $$

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Para calcular el límite de la función de varias variables

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-4)} \frac{x+4}{x^{2} y - x y + 4 x^{2} - 4 x},
$$

primero evaluamos el numerador y el denominador en el punto $$(2, -4)$$.

1. **Numerador:**
   $$
   x + 4 \quad \text{evaluado en} \quad (2, -4) \quad \Rightarrow \quad 2 + 4 = 6.
   $$

2. **Denominador:**
   $$
   x^{2} y - x y + 4 x^{2} - 4 x \quad \text{evaluado en} \quad (2, -4).
   $$
   Sustituyendo $$x = 2$$ y $$y = -4$$:
   $$
   2^{2}(-4) - 2(-4) + 4(2^{2}) - 4(2).
   $$
   Calculamos cada término:
   $$
   4(-4) - 2(-4) + 4(4) - 8 = -16 + 8 + 16 - 8 = 0.
   $$

El denominador se evalúa a 0, lo que indica que el límite puede ser indeterminado. Para resolver esto, intentamos simplificar la expresión.

Observamos que el denominador se puede reescribir:
$$
x^{2} y - x y + 4 x^{2} - 4 x = xy(x - 1) + 4x(x - 1) = (xy + 4x)(x - 1).
$$

Ahora, evaluamos el límite de la función:

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-4)} \frac{x + 4}{(xy + 4x)(x - 1)}.
$$

Sustituyendo $$x = 2$$ y $$y = -4$$ en el nuevo denominador:
$$
xy + 4x = 2(-4) + 4(2) = -8 + 8 = 0.
$$

Esto significa que el denominador sigue siendo 0. Por lo tanto, necesitamos un enfoque diferente, como cambiar a coordenadas polares o evaluar el límite a lo largo de diferentes trayectorias.

Probemos con la trayectoria $$y = -4$$:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{x^2(-4) - x(-4) + 4x^2 - 4x} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{-4x^2 + 4x + 4x^2 - 4x} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{0} \quad \text{(indeterminado)}.
$$

Probemos ahora con la trayectoria $$x = 2$$:
$$
\lim_{y \to -4} \frac{2 + 4}{2^2 y - 2y + 4(2^2) - 4(2)} = \lim_{y \to -4} \frac{6}{4y - 2y + 16 - 8} = \lim_{y \to -4} \frac{6}{2y + 8}.
$$
Sustituyendo $$y = -4$$:
$$
\frac{6}{2(-4) + 8} = \frac{6}{-8 + 8} = \frac{6}{0} \quad \text{(indeterminado)}.
$$

Dado que el límite es indeterminado en ambas trayectorias, podemos concluir que el límite no existe.

Por lo tanto, el resultado final es:

$$
\text{El límite no existe.}
$$
El límite no existe.

Calcular el límite de la función de varias variables:

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