1. Haciendo la sustitución \( u=e^{2 x}-1 \), la solución de la integral: \( \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x \) es:

Para resolver la integral \( \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x \) utilizando la sustitución \( u = e^{2x} - 1 \), sigamos los siguientes pasos: 1. **Sustitución**: Primero, notamos que \( e^{x} = \sqrt{u + 1} \) y \( e^{-x} = \frac{1}{\sqrt{u + 1}} \). Por lo tanto, podemos reescribir el denominador: \[ e^{x} - e^{-x} = \sqrt{u + 1} - \frac{1}{\sqrt{u + 1}} = \frac{(u + 1) - 1}{\sqrt{u + 1}} = \frac{u}{\sqrt{u + 1}} \] 2. **Derivada de la sustitución**: Ahora, calculamos \( du \): \[ u = e^{2x} - 1 \implies \frac{du}{dx} = 2e^{2x} \implies du = 2e^{2x} dx \implies dx = \frac{du}{2e^{2x}} = \frac{du}{2(u + 1)} \] 3. **Reescribiendo la integral**: Sustituyendo \( e^{x} \) y \( dx \) en la integral original: \[ \int \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{-x}} dx = \int \frac{\sqrt{u + 1}}{\frac{u}{\sqrt{u + 1}}} \cdot \frac{du}{2(u + 1)} \] Simplificando: \[ = \int \frac{(u + 1)}{u} \cdot \frac{du}{2(u + 1)} = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{du}{u} \] 4. **Resolviendo la integral**: La integral se simplifica a: \[ = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| + C \] 5. **Volviendo a la variable original**: Sustituyendo \( u = e^{2x} - 1 \): \[ = \frac{1}{2} \ln |e^{2x} - 1| + C \] Por lo tanto, la solución de la integral \( \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x \) es: \[ \frac{1}{2} \ln |e^{2x} - 1| + C \]