1. Haciendo la sustitución $$ u=e^{2 x}-1 $$, la solución de la integral: $$ \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x $$ es:

Question

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Para resolver la integral $$ \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x $$ utilizando la sustitución $$ u = e^{2x} - 1 $$, sigamos los siguientes pasos:

1. **Sustitución**: Primero, notamos que $$ e^{x} = \sqrt{u + 1} $$ y $$ e^{-x} = \frac{1}{\sqrt{u + 1}} $$. Por lo tanto, podemos reescribir el denominador:

$$
   e^{x} - e^{-x} = \sqrt{u + 1} - \frac{1}{\sqrt{u + 1}} = \frac{(u + 1) - 1}{\sqrt{u + 1}} = \frac{u}{\sqrt{u + 1}}
   $$

2. **Derivada de la sustitución**: Ahora, calculamos $$ du $$:

$$
   u = e^{2x} - 1 \implies \frac{du}{dx} = 2e^{2x} \implies du = 2e^{2x} dx \implies dx = \frac{du}{2e^{2x}} = \frac{du}{2(u + 1)}
   $$

3. **Reescribiendo la integral**: Sustituyendo $$ e^{x} $$ y $$ dx $$ en la integral original:

$$
   \int \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{-x}} dx = \int \frac{\sqrt{u + 1}}{\frac{u}{\sqrt{u + 1}}} \cdot \frac{du}{2(u + 1)}
   $$

Simplificando:

$$
   = \int \frac{(u + 1)}{u} \cdot \frac{du}{2(u + 1)} = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{du}{u}
   $$

4. **Resolviendo la integral**: La integral se simplifica a:

$$
   = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| + C
   $$

5. **Volviendo a la variable original**: Sustituyendo $$ u = e^{2x} - 1 $$:

$$
   = \frac{1}{2} \ln |e^{2x} - 1| + C
   $$

Por lo tanto, la solución de la integral $$ \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x $$ es:

$$
\frac{1}{2} \ln |e^{2x} - 1| + C
$$
La solución de la integral $$ \int \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} d x $$ es $$ \frac{1}{2} \ln |e^{2x} - 1| + C $$.

Haciendo la sustitución , la solución de
la integral: es:

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