$$ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \sin ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) d x \partial y $$

Question

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Para resolver la integral doble

$$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} \sin(x^{2} + y^{2}) \, dx \, dy,
$$

primero observamos que la región de integración está definida por $$0 \leq y \leq 1$$ y $$0 \leq x \leq \sqrt{1 - y^{2}}$$. Esta región corresponde a la parte superior del primer cuadrante del círculo de radio 1.

Podemos cambiar el orden de integración. Primero, determinamos los límites para $$x$$ y $$y$$. Para un valor fijo de $$x$$, $$y$$ puede variar desde $$0$$ hasta $$\sqrt{1 - x^{2}}$$. Por lo tanto, los nuevos límites de integración son:

$$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} \sin(x^{2} + y^{2}) \, dy \, dx.
$$

Ahora, resolvemos la integral interna:

$$
\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} \sin(x^{2} + y^{2}) \, dy.
$$

Para resolver esta integral, podemos usar el cambio de variable $$u = y^{2}$$, lo que implica que $$du = 2y \, dy$$ o $$dy = \frac{du}{2\sqrt{u}}$$. Cuando $$y = 0$$, $$u = 0$$ y cuando $$y = \sqrt{1 - x^{2}}$$, $$u = 1 - x^{2}$$. Entonces, la integral se convierte en:

$$
\int_{0}^{1 - x^{2}} \sin(x^{2} + u) \frac{du}{2\sqrt{u}}.
$$

Sin embargo, esta integral no tiene una solución elemental. Por lo tanto, podemos dejar la integral en su forma original y evaluarla numéricamente o mediante métodos de aproximación.

Finalmente, la integral original se puede expresar como:

$$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} \sin(x^{2} + y^{2}) \, dx \, dy \approx \text{(valor numérico)}.
$$

Si necesitas un valor numérico específico, se puede calcular utilizando métodos numéricos como la cuadratura.
Para resolver la integral doble $$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} \sin(x^{2} + y^{2}) \, dx \, dy, $$ cambia el orden de integración y evalúa la integral interna. La integral no tiene una solución elemental y debe ser calculada numéricamente.

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