ESERCIZIO Data la funzione definita mediante la legge $$ f(x)=\frac{3 e^{2 x}}{x-4} $$ a) determinarne gli eventuali punti di minimo e massimo relativo; b) dopo aver verificato se sono soddisfatte le condizioni del Teorema di Weierstrass nell'insieme $$ \left[\frac{17}{4}, \frac{21}{4}\right] $$, determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti.

Question

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### **Soluzione dell'Esercizio** Consideriamo la funzione $$ f(x) = \frac{3 e^{2x}}{x - 4} $$ #### **a) Punti di minimo e massimo relativo** Per determinare i punti di minimo e massimo relativo, calcoliamo la derivata prima della funzione e individuiamo i punti critici. **Calcolo della derivata prima:** $$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3 e^{2x}}{x - 4} \right) = \frac{6 e^{2x} (x - 4) - 3 e^{2x}}{(x - 4)^2} = \frac{e^{2x} (6x - 27)}{(x - 4)^2} $$ **Individuazione dei punti critici:** $$ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x - 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 $$ Il denominatore $$(x - 4)^2$$ è sempre positivo per $$x \neq 4$$, quindi il segno di $$f'(x)$$ è determinato da $$6x - 27$$: - **Per $$x < 4.5$$:** $$f'(x) < 0$$ - **Per $$x > 4.5$$:** $$f'(x) > 0$$ Poiché la derivata passa da negativa a positiva in $$x = 4.5$$, la funzione presenta un **punto di minimo relativo** in questo punto. **Coordinate del punto di minimo:** $$ f\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{3 e^{9}}{\frac{9}{2} - 4} = \frac{3 e^{9}}{0.5} = 6 e^{9} $$ **Conclusione:** - **Minimo relativo**: $$x = \frac{9}{2}$$ con $$f\left(\frac{9}{2}\right) = 6 e^{9}$$ - **Nessun punto di massimo relativo** rilevato. #### **b) Applicazione del Teorema di Weierstrass sull'intervallo $$\left[\frac{17}{4}, \frac{21}{4}\right]$$** **Verifica delle condizioni del Teorema di Weierstrass:** - La funzione $$f(x)$$ è **continua** sull'intervallo chiuso $$\left[\frac{17}{4}, \frac{21}{4}\right] = [4.25, 5.25]$$ poiché il denominatore $$x - 4$$ non si annulla nell'intervallo (infatti, $$4.25 > 4$$). - L'intervallo $$[4.25, 5.25]$$ è **compatto** (chiuso e limitato). Pertanto, secondo il Teorema di Weierstrass, la funzione $$f(x)$$ assume **massimi e minimi assoluti** nell'intervallo considerato. **Calcolo dei valori sui punti critici e sugli estremi dell'intervallo:** 1. **Estremo sinistro $$x = 4.25$$:** $$ f\left(4.25\right) = \frac{3 e^{8.5}}{0.25} = 12 e^{8.5} $$ 2. **Punto critico $$x = 4.5$$:** $$ f\left(4.5\right) = 6 e^{9} $$ 3. **Estremo destro $$x = 5.25$$:** $$ f\left(5.25\right) = \frac{3 e^{10.5}}{1.25} = 2.4 e^{10.5} $$ **Confronto dei valori:** - $$f(4.25) = 12 e^{8.5}$$ - $$f(4.5) = 6 e^{9}$$ - $$f(5.25) = 2.4 e^{10.5}$$ Poiché $$e^{10.5} > e^{9} > e^{8.5}$$, risulta che: - **Massimo assoluto**: $$x = 5.25$$ con $$f(5.25) = 2.4 e^{10.5}$$ - **Minimo assoluto**: $$x = 4.5$$ con $$f(4.5) = 6 e^{9}$$ ### **Conclusione Finale:** - **a)** La funzione $$f(x)$$ presenta un **punto di minimo relativo** in $$x = \dfrac{9}{2}$$. - **b)** Sul dominio $$\left[\dfrac{17}{4}, \dfrac{21}{4}\right]$$, $$f(x)$$ raggiunge un **minimo assoluto** in $$x = \dfrac{9}{2}$$ e un **massimo assoluto** in $$x = 5.25$$. ### **Soluzione dell'Esercizio** Consideriamo la funzione $$ f(x) = \frac{3 e^{2x}}{x - 4} $$ #### **a) Punti di minimo e massimo relativo** 1. **Calcolo della derivata prima:** $$ f'(x) = \frac{6 e^{2x} (x - 4) - 3 e^{2x}}{(x - 4)^2} = \frac{e^{2x} (6x - 27)}{(x - 4)^2} $$ 2. **Individuazione dei punti critici:** $$ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x - 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4.5 $$ Il punto critico è $$x = 4.5$$. 3. **Determinazione del segno della derivata:** - **Per $$x < 4.5$$:** $$f'(x) < 0$$ - **Per $$x > 4.5$$:** $$f'(x) > 0$$ 4. **Conclusioni:** - **Minimo relativo**: $$x = 4.5$$ con $$f(4.5) = 6 e^{9}$$ - **Nessun massimo relativo** rilevato. #### **b) Massimi e minimi assoluti sull'intervallo $$[4.25, 5.25]$$** 1. **Verifica delle condizioni del Teorema di Weierstrass:** - La funzione è continua sull'intervallo $$[4.25, 5.25]$$. - L'intervallo è chiuso e limitato. 2. **Calcolo dei valori alla frontiera e al punto critico:** - **Estremo sinistro ($$x = 4.25$$):** $$ f(4.25) = 12 e^{8.5} $$ - **Punto critico ($$x = 4.5$$):** $$ f(4.5) = 6 e^{9} $$ - **Estremo destro ($$x = 5.25$$):** $$ f(5.25) = 2.4 e^{10.5} $$ 3. **Determinazione dei massimi e minimi assoluti:** - **Massimo assoluto**: $$x = 5.25$$ con $$f(5.25) = 2.4 e^{10.5}$$ - **Minimo assoluto**: $$x = 4.5$$ con $$f(4.5) = 6 e^{9}$$ ### **Conclusione:** - **a)** La funzione $$f(x)$$ ha un **punto di minimo relativo** in $$x = 4.5$$. - **b)** Sul dominio $$[4.25, 5.25]$$, $$f(x)$$ raggiunge un **minimo assoluto** in $$x = 4.5$$ e un **massimo assoluto** in $$x = 5.25$$.

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