9. Analicen si las siguientes series son convergentes o divergentes. $$ \begin{array}{llll} ext { i) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{n+1}}{3^{n}} & ext { ii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!} & ext { iii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 n-2}} & ext { iv) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{n} ight)}{\sqrt{n^{2}+1}} \ ext { v) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n+1} & ext { vi) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^{2}-n-1} & ext { vii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}\end{array} $$

Question

9. Analicen si las siguientes series son convergentes o divergentes. $$ \begin{array}{llll}	ext { i) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{n+1}}{3^{n}} & 	ext { ii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!} & 	ext { iii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 n-2}} & 	ext { iv) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}ight)}{\sqrt{n^{2}+1}} \ 	ext { v) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n+1} & 	ext { vi) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^{2}-n-1} & 	ext { vii) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}\end{array} $$

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1. $$ \textbf{Serie i)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{n+1}}{3^{n}} $$

- Primero, escribimos $$ 2^{n+1} = 2\cdot2^n $$. Así, el término general es
     $$
     a_n = 2n^2 \left(\frac{2}{3}\right)^n.
     $$
   - Notamos que la parte $$ \left(\frac{2}{3}\right)^n $$ decrece exponencialmente (ya que $$\frac{2}{3} < 1$$), mientras que $$ n^2 $$ crece de forma polinómica.
   - Debido a que el factor exponencial domina, la serie converge absolutamente.
     
2. $$ \textbf{Serie ii)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!} $$

- Aplicamos el criterio de la razón. Sea
     $$
     a_n = \frac{n^n}{n!}.
     $$
   - Calculamos la razón:
     $$
     \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
     $$
   - Al pasar a límite:
     $$
     \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e > 1.
     $$
     Dado que el límite es mayor que 1, la serie diverge.

3. $$ \textbf{Serie iii)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3n-2}} $$

- Para $$ n $$ grande, se tiene que
     $$
     \sqrt{3n-2} \sim \sqrt{3n} = \sqrt{3}\sqrt{n},
     $$
     por lo que
     $$
     a_n \sim \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{n}}.
     $$
   - La serie se comporta como la serie $$ \sum \frac{1}{\sqrt{n}} $$, que es una serie $$ p $$ con $$ p=\frac{1}{2} $$ (diverge porque $$ p\leq 1 $$).
   - Por lo tanto, la serie diverge.

4. $$ \textbf{Serie iv)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^{2}+1}} $$

- Para $$ n $$ grande, usamos las aproximaciones:
     $$
     \sin\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \quad \text{y} \quad \sqrt{n^2+1} \sim n.
     $$
   - Entonces,
     $$
     a_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2}.
     $$
   - Dado que $$ \sum \frac{1}{n^2} $$ es convergente (serie $$ p $$ con $$ p=2>1 $$), la serie converge absolutamente.

5. $$ \textbf{Serie v)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n+1} $$

- Para $$ n $$ grande:
     $$
     n^2+n+1 \sim n^2.
     $$
   - Así,
     $$
     a_n \sim \frac{1}{n^2}.
     $$
   - La serie $$ \sum \frac{1}{n^2} $$ es convergente, por lo que, por el criterio de comparación, la serie converge.

6. $$ \textbf{Serie vi)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^{2}-n-1} $$

- Para $$ n $$ grande, los términos se comportan como:
     $$
     \frac{n+2}{n^2-n-1} \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}.
     $$
   - La serie se asemeja a la serie armónica $$ \sum \frac{1}{n} $$, que diverge.
   - Por lo tanto, la serie diverge.

7. $$ \textbf{Serie vii)} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} $$

- Para $$ n $$ grande:
     $$
     n^{2}+1 \sim n^2,
     $$
     y por lo tanto:
     $$
     a_n \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}.
     $$
   - Nuevamente, se obtiene un comportamiento similar a la serie armónica, que diverge.
   
Resumiendo:

- i) Convergente.
- ii) Divergente.
- iii) Divergente.
- iv) Convergente.
- v) Convergente.
- vi) Divergente.
- vii) Divergente.
1. **Serie i)** Convergente. 2. **Serie ii)** Divergente. 3. **Serie iii)** Divergente. 4. **Serie iv)** Convergente. 5. **Serie v)** Convergente. 6. **Serie vi)** Divergente. 7. **Serie vii)** Divergente.

Analicen si las siguientes series son convergentes o divergentes.

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