Hallar la derivada. \( y=\left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \tan \left(x^{2}\right) \)

Para hallar la derivada de la función \[ y = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \tan \left(x^{2}\right), \] utilizaremos la regla del producto y la regla de la cadena. Primero, identificamos las dos funciones que se están multiplicando: \[ u(x) = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \quad \text{y} \quad v(x) = \tan \left(x^{2}\right). \] Aplicando la regla del producto: \[ \frac{dy}{dx} = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x). \] Ahora, calculamos cada derivada por separado. 1. **Derivada de \( u(x) = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \):** Aplicamos la regla de la cadena: \[ u'(x) = 3 \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \cdot \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \cdot 2x = 6x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \operatorname{cos}\left(x^{2}\right). \] 2. **Derivada de \( v(x) = \tan \left(x^{2}\right) \):** Aplicamos la regla de la cadena: \[ v'(x) = \sec^{2}\left(x^{2}\right) \cdot 2x = 2x \sec^{2}\left(x^{2}\right). \] Finalmente, sustituimos \( u'(x) \) y \( v'(x) \) en la regla del producto: \[ \frac{dy}{dx} = 6x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \cdot \tan \left(x^{2}\right) + \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \cdot 2x \sec^{2}\left(x^{2}\right). \] Simplificando, podemos factorizar \( 2x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \): \[ \frac{dy}{dx} = 2x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \left( 3 \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \tan \left(x^{2}\right) + \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) \sec^{2}\left(x^{2}\right) \right). \] Esta es la derivada de la función dada.