Hallar la derivada. $$ y=\left[\operatorname{sen}\left(x^{2} ight) ight]^{3} an \left(x^{2} ight) $$

Question

Hallar la derivada. $$ y=\left[\operatorname{sen}\left(x^{2}ight)ight]^{3} 	an \left(x^{2}ight) $$

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Para hallar la derivada de la función

$$
y = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \tan \left(x^{2}\right),
$$

utilizaremos la regla del producto y la regla de la cadena.

Primero, identificamos las dos funciones que se están multiplicando:

$$
u(x) = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \quad \text{y} \quad v(x) = \tan \left(x^{2}\right).
$$

Aplicando la regla del producto:

$$
\frac{dy}{dx} = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).
$$

Ahora, calculamos cada derivada por separado.

1. **Derivada de $$ u(x) = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} $$:**

Aplicamos la regla de la cadena:

$$
u'(x) = 3 \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \cdot \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \cdot 2x = 6x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \operatorname{cos}\left(x^{2}\right).
$$

2. **Derivada de $$ v(x) = \tan \left(x^{2}\right) $$:**

Aplicamos la regla de la cadena:

$$
v'(x) = \sec^{2}\left(x^{2}\right) \cdot 2x = 2x \sec^{2}\left(x^{2}\right).
$$

Finalmente, sustituimos $$ u'(x) $$ y $$ v'(x) $$ en la regla del producto:

$$
\frac{dy}{dx} = 6x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \cdot \tan \left(x^{2}\right) + \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \cdot 2x \sec^{2}\left(x^{2}\right).
$$

Simplificando, podemos factorizar $$ 2x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} $$:

$$
\frac{dy}{dx} = 2x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \left( 3 \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \tan \left(x^{2}\right) + \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) \sec^{2}\left(x^{2}\right) \right).
$$

Esta es la derivada de la función dada.
La derivada de $$ y = \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{3} \tan \left(x^{2}\right) $$ es: $$ \frac{dy}{dx} = 2x \left[\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right]^{2} \left( 3 \operatorname{cos}\left(x^{2}\right) \tan \left(x^{2}\right) + \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) \sec^{2}\left(x^{2}\right) \right). $$

Hallar la derivada.

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