$$ y ^ { \prime \prime } - 4 y = \ln 2 x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la ecuación diferencial $$ y'' - 4y = \ln(2x) $$, primero encontramos la solución de la ecuación homogénea asociada:

1. **Ecuación homogénea**: 
   $$
   y'' - 4y = 0
   $$
   La ecuación característica es:
   $$
   r^2 - 4 = 0
   $$
   Resolviendo, obtenemos:
   $$
   r = 2 \quad \text{y} \quad r = -2
   $$
   Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:
   $$
   y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
   $$
   donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.

2. **Solución particular**:
   Ahora buscamos una solución particular $$ y_p $$ para la ecuación no homogénea $$ y'' - 4y = \ln(2x) $$. Dado que el lado derecho es $$ \ln(2x) $$, podemos intentar una solución particular de la forma:
   $$
   y_p = A \ln(2x) + B
   $$
   donde $$ A $$ y $$ B $$ son constantes a determinar.

Calculamos las derivadas:
   $$
   y_p' = \frac{A}{x}
   $$
   $$
   y_p'' = -\frac{A}{x^2}
   $$

Sustituyendo $$ y_p $$, $$ y_p' $$ y $$ y_p'' $$ en la ecuación original:
   $$
   -\frac{A}{x^2} - 4(A \ln(2x) + B) = \ln(2x)
   $$
   Simplificando:
   $$
   -\frac{A}{x^2} - 4A \ln(2x) - 4B = \ln(2x)
   $$

Para que esta igualdad se cumpla para todos los $$ x $$, los coeficientes de $$ \ln(2x) $$ y los términos constantes deben ser iguales. Esto nos da el sistema:
   $$
   -4A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{4}
   $$
   $$
   -4B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0
   $$

Por lo tanto, la solución particular es:
   $$
   y_p = -\frac{1}{4} \ln(2x)
   $$

3. **Solución general**:
   La solución general de la ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y la solución particular:
   $$
   y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{1}{4} \ln(2x)
   $$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.
La solución general de la ecuación diferencial $$ y'' - 4y = \ln(2x) $$ es $$ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{1}{4} \ln(2x) $$, donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.

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