Question
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VIII.- Cálculo del área debaio de la curva.
  • En cada ejercicio, determina el área limitada por la función indicada, el eje los valores dados.
    Dibuja la gráfica.
    FUNCIÓN:
    INTERVALO:
    1.-

Ask by Graham Watkins. in Mexico
Jan 24,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

Para calcular el área limitada por cada función y el eje , se determinan las intersecciones y se evalúan las integrales correspondientes. Los resultados son:
  1. : Área = unidades cuadradas.
  2. : Área = unidades cuadradas.
  3. : Área = unidades cuadradas.
  4. y , : Área = unidades cuadradas.
  5. : Área = unidades cuadradas.
Para cada caso, se dibuja la gráfica correspondiente para visualizar la región delimitada.

Solution

Claro, vamos a calcular el área limitada por cada función indicada, el eje y los valores dados. También describiremos la gráfica correspondiente para cada caso.

1.

Intervalo:
Para encontrar el intervalo, determinamos los puntos donde la función intersecta al eje . Es decir, resolvemos :
Área:
El área bajo la curva entre y se calcula mediante la integral definida:
Debido a la simetría de la función respecto al eje , podemos simplificar el cálculo:
Calculando la integral:
Evaluando desde hasta :
Gráfica:
La gráfica de es una parábola invertida con vértice en que corta al eje en y . El área calculada es la región encerrada entre la parábola y el eje en este intervalo.

2.

Asumo que la función dada es una línea recta: . Para determinar el área limitada con el eje , necesitamos otro límite o punto de intersección. Sin embargo, generalmente se considera el área entre la línea y el eje hasta donde la línea intersecta al eje.
Intersección con el eje :
Para encontrar dónde la línea intersecta al eje , ponemos :
Área:
Si consideramos el área entre la línea y el eje desde hasta un punto específico, necesitamos ese punto adicional. Sin un límite superior, el área sería infinita.
Por lo tanto, se necesita información adicional sobre el intervalo para calcular un área finita. Si, por ejemplo, se establece un intervalo entre y :
Calculando la integral:
Evaluando desde hasta :
Dado que el área no puede ser negativa, tomamos el valor absoluto:
Gráfica:
La gráfica es una línea recta descendente que corta al eje en y al eje en . El área considerada sería el triángulo formado entre la línea y el eje en el intervalo dado.

3.

Intersección con el eje :
Resolvemos :
La única intersección es en . Para calcular un área finita, necesitamos definir un intervalo simétrico alrededor del origen, por ejemplo, entre y . Sin un intervalo dado, el área sería infinita.
Supongamos que el intervalo es a :
Área:
Sin embargo, dado que está por debajo del eje , el área será negativa. Tomamos el valor absoluto:
Área absoluta:
Gráfica:
La gráfica es una parábola abierta hacia abajo con vértice en el origen . El área calculada es la región cerrada entre la parábola y el eje en el intervalo seleccionado.

4. y ,

Parece haber una confusión en la notación original. Asumo que se tienen dos funciones: y , además de una línea vertical .
Intersección entre y :
Intervalo:
Entre y .
Área:
El área está limitada por las funciones , , y .
Primero, determinamos las intersecciones relevantes:
  1. Entre y en .
  2. Entre y .
  3. Entre y .
Calculamos en para :
El área se divide en dos partes:
  1. Entre y donde es la función superior y es la inferior.
Entonces:
Calculando la integral:
Evaluando desde hasta :
Gráfica:
  • : Línea recta descendente que corta al eje en y al eje en .
  • : Línea horizontal.
  • : Línea vertical.
El área delimitada es un trapecio entre las líneas mencionadas desde hasta .

5.

Intersección con el eje :
Resolvemos :
Área:
Para determinar un área finita, necesitamos un intervalo específico. Supongamos que el intervalo es desde hasta .
Calculando la integral:
Evaluando desde hasta :
Tomando el valor absoluto:
Gráfica:
La gráfica de es una línea recta descendente que corta al eje en y al eje en . El área calculada es la región entre esta línea y el eje en el intervalo seleccionado.

Nota: Para obtener gráficas precisas, se recomienda utilizar herramientas gráficas como Desmos, GeoGebra o software de cálculo que permita visualizar las funciones y las áreas delimitadas.

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

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Beyond the Answer

Para calcular el área bajo la curva de las funciones proporcionadas, es esencial primero identificar los puntos de intersección de estas funciones con el eje y luego determinar el área usando integración.
Por ejemplo, para la función , se interseca con el eje cuando , lo que da los puntos y . El área bajo la curva se puede obtener integrando desde hasta :
De manera similar, cada función puede ser tratada con este método de encontrar los límites y luego integrar la función correspondiente.
Al graficar cada función, se obtendrá una representación visual que ayudará a ver claramente las áreas restringidas por el eje y los valores dados. Por ejemplo, la gráfica de será una parábola invertida que abre hacia abajo y tendrá su vértice en .
Es recomendable usar software de graficación, esto hará el proceso más interactivo y permitirá verificar los resultados visualmente. Para cada función, asegúrate de marcar bien los puntos de intersección y las áreas que se van a calcular. ¡Diviértete con el proceso!

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