VIII.- Cálculo del área debaio de la curva. - En cada ejercicio, determina el área limitada por la función indicada, el eje \( x y \) los valores dados. Dibuja la gráfica. FUNCIÓN: INTERVALO: 1.- \( f(x)=4-x^{2} \) 2. \( -y=7 x+5 \) 3. \( -y=x^{2} \) 4. \( -y=2 x-8=1, x=6 \) 5. \( -y=2 x+2 \)

Claro, vamos a calcular el área limitada por cada función indicada, el eje \( x \) y los valores dados. También describiremos la gráfica correspondiente para cada caso. --- ### **1. \( f(x) = 4 - x^{2} \)** **Intervalo:** Para encontrar el intervalo, determinamos los puntos donde la función intersecta al eje \( x \). Es decir, resolvemos \( f(x) = 0 \): \[ 4 - x^{2} = 0 \\ x^{2} = 4 \\ x = \pm 2 \] **Área:** El área bajo la curva entre \( x = -2 \) y \( x = 2 \) se calcula mediante la integral definida: \[ A = \int_{-2}^{2} (4 - x^{2}) \, dx \] Debido a la simetría de la función respecto al eje \( y \), podemos simplificar el cálculo: \[ A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) \, dx \] Calculando la integral: \[ \int (4 - x^{2}) \, dx = 4x - \frac{x^{3}}{3} \] Evaluando desde \( 0 \) hasta \( 2 \): \[ A = 2 \left[ \left(4(2) - \frac{2^{3}}{3}\right) - \left(4(0) - \frac{0^{3}}{3}\right) \right] \\ A = 2 \left(8 - \frac{8}{3}\right) \\ A = 2 \left(\frac{24}{3} - \frac{8}{3}\right) \\ A = 2 \left(\frac{16}{3}\right) \\ A = \frac{32}{3} \, \text{unidades cuadradas} \] **Gráfica:** La gráfica de \( f(x) = 4 - x^{2} \) es una parábola invertida con vértice en \( (0, 4) \) que corta al eje \( x \) en \( x = -2 \) y \( x = 2 \). El área calculada es la región encerrada entre la parábola y el eje \( x \) en este intervalo. --- ### **2. \( y = -7x - 5 \)** Asumo que la función dada es una línea recta: \( y = -7x - 5 \). Para determinar el área limitada con el eje \( x \), necesitamos otro límite o punto de intersección. Sin embargo, generalmente se considera el área entre la línea y el eje \( x \) hasta donde la línea intersecta al eje. **Intersección con el eje \( x \):** Para encontrar dónde la línea intersecta al eje \( x \), ponemos \( y = 0 \): \[ 0 = -7x - 5 \\ 7x = -5 \\ x = -\frac{5}{7} \] **Área:** Si consideramos el área entre la línea y el eje \( x \) desde \( x = -\frac{5}{7} \) hasta un punto específico, necesitamos ese punto adicional. Sin un límite superior, el área sería infinita. Por lo tanto, se necesita información adicional sobre el intervalo para calcular un área finita. Si, por ejemplo, se establece un intervalo entre \( x = 0 \) y \( x = -\frac{5}{7} \): \[ A = \int_{-5/7}^{0} (-7x - 5) \, dx \] Calculando la integral: \[ \int (-7x - 5) \, dx = -\frac{7}{2}x^{2} - 5x \] Evaluando desde \( -\frac{5}{7} \) hasta \( 0 \): \[ A = \left[ -\frac{7}{2}(0)^{2} - 5(0) \right] - \left[ -\frac{7}{2}\left(-\frac{5}{7}\right)^{2} - 5\left(-\frac{5}{7}\right) \right] \\ A = 0 - \left[ -\frac{7}{2} \cdot \frac{25}{49} + \frac{25}{7} \right] \\ A = -\left[ -\frac{175}{98} + \frac{350}{98} \right] \\ A = -\left( \frac{175}{98} \right) \\ A = -\frac{175}{98} = -\frac{25}{14} \, \text{unidades cuadradas} \] Dado que el área no puede ser negativa, tomamos el valor absoluto: \[ A = \frac{25}{14} \, \text{unidades cuadradas} \] **Gráfica:** La gráfica es una línea recta descendente que corta al eje \( y \) en \( -5 \) y al eje \( x \) en \( x = -\frac{5}{7} \). El área considerada sería el triángulo formado entre la línea y el eje \( x \) en el intervalo dado. --- ### **3. \( y = -x^{2} \)** **Intersección con el eje \( x \):** Resolvemos \( y = 0 \): \[ -x^{2} = 0 \\ x = 0 \] La única intersección es en \( x = 0 \). Para calcular un área finita, necesitamos definir un intervalo simétrico alrededor del origen, por ejemplo, entre \( x = -a \) y \( x = a \). Sin un intervalo dado, el área sería infinita. Supongamos que el intervalo es \( x = -2 \) a \( x = 2 \): **Área:** \[ A = \int_{-2}^{2} (-x^{2}) \, dx \] Sin embargo, dado que \( -x^{2} \) está por debajo del eje \( x \), el área será negativa. Tomamos el valor absoluto: \[ A = \int_{-2}^{2} (-x^{2}) \, dx = - \int_{-2}^{2} x^{2} \, dx = -\left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-2}^{2} = -\left( \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) \right) = -\left( \frac{16}{3} \right) = -\frac{16}{3} \] Área absoluta: \[ A = \frac{16}{3} \, \text{unidades cuadradas} \] **Gráfica:** La gráfica es una parábola abierta hacia abajo con vértice en el origen \( (0,0) \). El área calculada es la región cerrada entre la parábola y el eje \( x \) en el intervalo seleccionado. --- ### **4. \( y = -2x - 8 \) y \( y = 1 \), \( x = 6 \)** Parece haber una confusión en la notación original. Asumo que se tienen dos funciones: \( y = -2x - 8 \) y \( y = 1 \), además de una línea vertical \( x = 6 \). **Intersección entre \( y = -2x - 8 \) y \( y = 1 \):** \[ -2x - 8 = 1 \\ -2x = 9 \\ x = -\frac{9}{2} = -4.5 \] **Intervalo:** Entre \( x = -4.5 \) y \( x = 6 \). **Área:** El área está limitada por las funciones \( y = -2x - 8 \), \( y = 1 \), y \( x = 6 \). Primero, determinamos las intersecciones relevantes: 1. **Entre \( y = -2x - 8 \) y \( y = 1 \) en \( x = -4.5 \).** 2. **Entre \( y = 1 \) y \( x = 6 \).** 3. **Entre \( y = -2x - 8 \) y \( x = 6 \).** Calculamos \( y \) en \( x = 6 \) para \( y = -2x - 8 \): \[ y = -2(6) - 8 = -12 - 8 = -20 \] El área se divide en dos partes: 1. **Entre \( x = -4.5 \) y \( x = 6 \) donde \( y = 1 \) es la función superior y \( y = -2x -8 \) es la inferior.** Entonces: \[ A = \int_{-4.5}^{6} [1 - (-2x -8)] \, dx = \int_{-4.5}^{6} (2x + 9) \, dx \] Calculando la integral: \[ \int (2x + 9) \, dx = x^{2} + 9x \] Evaluando desde \( -4.5 \) hasta \( 6 \): \[ A = [6^{2} + 9(6)] - \left[ (-4.5)^{2} + 9(-4.5) \right] \\ A = (36 + 54) - (20.25 - 40.5) \\ A = 90 - (-20.25) \\ A = 110.25 \, \text{unidades cuadradas} \] **Gráfica:** - **\( y = -2x - 8 \):** Línea recta descendente que corta al eje \( y \) en \( -8 \) y al eje \( x \) en \( x = -4 \). - **\( y = 1 \):** Línea horizontal. - **\( x = 6 \):** Línea vertical. El área delimitada es un trapecio entre las líneas mencionadas desde \( x = -4.5 \) hasta \( x = 6 \). --- ### **5. \( y = -2x - 2 \)** **Intersección con el eje \( x \):** Resolvemos \( y = 0 \): \[ -2x - 2 = 0 \\ -2x = 2 \\ x = -1 \] **Área:** Para determinar un área finita, necesitamos un intervalo específico. Supongamos que el intervalo es desde \( x = -1 \) hasta \( x = 2 \). \[ A = \int_{-1}^{2} (-2x - 2) \, dx \] Calculando la integral: \[ \int (-2x - 2) \, dx = -x^{2} - 2x \] Evaluando desde \( -1 \) hasta \( 2 \): \[ A = \left[ -(2)^{2} - 2(2) \right] - \left[ -(-1)^{2} - 2(-1) \right] \\ A = (-4 -4) - (-1 +2) \\ A = -8 -1 \\ A = -9 \] Tomando el valor absoluto: \[ A = 9 \, \text{unidades cuadradas} \] **Gráfica:** La gráfica de \( y = -2x - 2 \) es una línea recta descendente que corta al eje \( y \) en \( -2 \) y al eje \( x \) en \( x = -1 \). El área calculada es la región entre esta línea y el eje \( x \) en el intervalo seleccionado. --- **Nota:** Para obtener gráficas precisas, se recomienda utilizar herramientas gráficas como Desmos, GeoGebra o software de cálculo que permita visualizar las funciones y las áreas delimitadas.