I) Hallar una función $$ f $$ un numero $$ a $$ tal que $$ \text { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81 $$

Question

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Para resolver la ecuación
$$
\int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt = x^{2} - 81,
$$
seguimos los siguientes pasos:

1. **Derivación de ambos lados respecto a $$ x $$:**

Aplicamos el teorema fundamental del cálculo:
   $$
   \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} \, dt \right) = \frac{d}{dx} (x^{2} - 81).
   $$
   Calculando las derivadas:
   $$
   \frac{2x^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = 2x,
   $$
   lo que simplifica a:
   $$
   \frac{4x^{2}}{(f(2x))^{3}} = 2x \quad \Rightarrow \quad \frac{4x}{(f(2x))^{3}} = 2 \quad \Rightarrow \quad (f(2x))^{3} = 2x.
   $$

2. **Encontrar la función $$ f(t) $$:**

Tomando la raíz cúbica en ambos lados:
   $$
   f(2x) = \sqrt[3]{2x}.
   $$
   Sustituyendo $$ t = 2x $$, obtenemos:
   $$
   f(t) = \sqrt[3]{t}.
   $$

3. **Determinar el valor de $$ a $$:**

Sustituyendo $$ f(t) = \sqrt[3]{t} $$ en la integral original:
   $$
   \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(\sqrt[3]{t})^{3}} \, dt = \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{t} \, dt = \int_{a}^{2x} t \, dt.
   $$
   Calculando la integral:
   $$
   \left. \frac{t^{2}}{2} \right|_{a}^{2x} = \frac{(2x)^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = 2x^{2} - \frac{a^{2}}{2}.
   $$
   Igualando a $$ x^{2} - 81 $$:
   $$
   2x^{2} - \frac{a^{2}}{2} = x^{2} - 81 \quad \Rightarrow \quad x^{2} - \frac{a^{2}}{2} = -81.
   $$
   Resolviendo para $$ a $$:
   $$
   \frac{a^{2}}{2} = x^{2} + 81.
   $$
   Como esta igualdad debe sostenerse para todo $$ x $$, concluimos que $$ a^{2} = 162 $$, por lo tanto:
   $$
   a = 9\sqrt{2}.
   $$

**Respuesta Final:**

La función buscada y el número $$ a $$ son
$$
f(t) = \sqrt[3]{2\,t} \quad \text{y} \quad a = 9\sqrt{2}.
$$
La función $$ f(t) $$ es $$ \sqrt[3]{2t} $$ y el número $$ a $$ es $$ 9\sqrt{2} $$.

I) Hallar una función un numero tal que

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