Aufgabe $$ 1(3 $$ Punkte). Seien $$ a, b, c, d \in \mathbb{R} $$ mit $$ a

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Lösung zu Aufgabe 1**

Gegeben seien $$ a, b, c, d \in \mathbb{R} $$ mit $$ a < b $$ und $$ c < d $$.

1. **Riemann-Integrierbarkeit der Funktion $$ h(x) = |x| $$ auf $$[c, d]$$**

Die Funktion $$ h(x) = |x| $$ ist auf $$\mathbb{R}$$ stetig, da der Betrag eine stetige Funktion ist. Insbesondere ist $$ h $$ auf dem kompakten Intervall $$[c, d] $$ stetig. Da jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, ist auch $$ h $$ Riemann-integrierbar auf $$[c, d]$$.

2. **Riemann-Integrierbarkeit von $$ |f| $$, wenn $$ f $$ Riemann-integrierbar ist**

Sei $$ f: [a, b] \rightarrow [c, d] $$ Riemann-integrierbar. Die Betragsfunktion $$ |\cdot| $$ ist stetig auf $$[c, d]$$, also ist die Verkettung $$ |f| $$ ebenfalls stetig fast überall auf $$[a, b]$$, da $$ f $$ Riemann-integrierbar ist. Nach den Eigenschaften Riemann-integrierbarer Funktionen ist $$ |f| $$ ebenfalls Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$.

3. **Riemann-Integrierbarkeit von $$ \min\{f, g\} $$, wenn $$ f $$ und $$ g $$ Riemann-integrierbar sind**

Sei $$ f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $$ Riemann-integrierbar. Die Funktion $$ \min\{f, g\} $$ kann als $$ \frac{f + g - |f - g|}{2} $$ ausgedrückt werden. Da $$ f $$ und $$ g $$ Riemann-integrierbar sind, sind auch $$ f + g $$ und $$ |f - g| $$ Riemann-integrierbar. Somit ist $$ \min\{f, g\} $$ als Linearkombination Riemann-integrierbarer Funktionen ebenfalls Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$.
**Lösung zu Aufgabe 1** 1. Die Funktion $$ h(x) = |x| $$ auf $$[c, d]$$ ist Riemann-integrierbar, da sie stetig ist und auf einem kompakten Intervall. 2. Wenn $$ f $$ auf $$[a, b]$$ Riemann-integrierbar ist, dann ist $$ |f| $$ auch Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$, da die Betragsfunktion stetig ist. 3. Wenn $$ f $$ und $$ g $$ auf $$[a, b]$$ Riemann-integrierbar sind, dann ist $$ \min\{f, g\} $$ ebenfalls Riemann-integrierbar auf $$[a, b]$$, da es sich um eine Linearkombination von Riemann-integrierbaren Funktionen handelt.

Aufgabe Punkte). Seien mit und . Zeigen Sie:

Die Funktion , ist Riemann-integrierbar.

Ist Riemann-integrierbar, so ist Riemann-integrierbar.

Sind Riemann-integrierbar, so ist Riemann-integrierbar.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions

Aufgabe Punkte). Seien mit und . Zeigen Sie: Die Funktion , ist Riemann-integrierbar. Ist Riemann-integrierbar, so ist Riemann-integrierbar. Sind Riemann-integrierbar, so ist Riemann-integrierbar.