Aufgabe \( 1(3 \) Punkte). Seien \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) mit \( a

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Jan 19,2025

Um zu zeigen, dass die Funktion \( h(x) = |x| \) Riemann-integrierbar ist, beachten wir, dass \( h \) auf dem Intervall \([c, d]\) stetig ist, außer möglicherweise an der Stelle \( x = 0 \), falls \( 0 \in [c, d] \). Die discontinuity bei \( x = 0 \) hat jedoch eine Lebesgue-Maß von 0. Eine Funktion ist Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen ein Lebesgue-Maß von 0 hat. Daher ist \( h \) Riemann-integrierbar. Für den zweiten Punkt nehmen wir an, dass \( f:[a, b] \rightarrow [c, d] \) Riemann-integrierbar ist. Der Betrag \( |f(x)| \) bleibt auch in dem Intervall \([c, d]\), da \( f(x) \) zwischen den Werten von \( c \) und \( d \) verläuft. Die Stetigkeit von \( |f| \) folgt aus der Stetigkeit von \( f \) (da der Betrag eine stetige Funktion ist). Somit ist \( |f| \) ebenfalls Riemann-integrierbar. Schließlich, wenn sowohl \( f \) als auch \( g \) Riemann-integrierbar sind, ist der Graph jeder der beiden Funktionen auf \([a, b]\) stückweise stetig, außer auf einer Menge von Punkten mit Lebesgue-Maß 0. Die Funktion \( \min\{f, g\} \) ist dann ebenfalls stückweise stetig und hat eine Menge von Unstetigkeitsstellen mit Lebesgue-Maß 0, da sie nur an den Punkten unbestimmt ist, an denen \( f \) gleich \( g \) ist. Folglich ist \( \min \{f, g\} \) ebenfalls Riemann-integrierbar.