6. (6 boda) Provjerite da je vektorsko polje $$ \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, z, 2 x z+y\right) $$ konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte $$ \int_{(1,1,1,2)}^{(2,1,3)} \vec{F} d \vec{r} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Provjerimo prvo je li vektorsko polje $$ \vec{F}(x, y, z) = \left(z^{2}, z, 2 x z + y\right) $$ konzervativno.

**1. Provjera konzervativnosti:**

Izračunajmo rotor (curl) vektorskog polja $$ \vec{F} $$:

$$
\text{curl} \, \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \
z^2 & z & 2xz + y
\end{vmatrix}
$$

Raspletimo determinantu:

$$
\text{curl} \, \vec{F} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(2xz + y) - \frac{\partial}{\partial z}(z) \right) -
\mathbf{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(2xz + y) - \frac{\partial}{\partial z}(z^2) \right) +
\mathbf{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(z) - \frac{\partial}{\partial y}(z^2) \right)
$$

Izračunajmo pojedinačne dijelove:

$$
\mathbf{i}: \left( 0 + 1 \right) - (1) = 0
$$
$$
\mathbf{j}: \left( 2z \right) - \left( 2z \right) = 0
$$
$$
\mathbf{k}: 0 - 0 = 0
$$

Dakle, $$\text{curl} \, \vec{F} = \vec{0}$$, što znači da je vektorsko polje konzervativno.

**2. Pronalaženje potencijalne funkcije $$ \phi $$:**

Tražimo funkciju $$ \phi(x, y, z) $$ takvu da je $$ \nabla \phi = \vec{F} $$:

$$
\frac{\partial \phi}{\partial x} = z^2 \quad \Rightarrow \quad \phi = z^2 x + g(y, z)
$$

Derivirajmo po $$ y $$:

$$
\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y} = z \quad \Rightarrow \quad g(y, z) = z y + h(z)
$$

Dakle,

$$
\phi(x, y, z) = z^2 x + z y + h(z)
$$

Derivirajmo po $$ z $$:

$$
\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2z x + y + h'(z) = 2xz + y
$$

Iz toga slijedi $$ h'(z) = 0 $$, pa je $$ h(z) $$ konstanta. Za jednostavnost postavimo konstantu na nulu:

$$
\phi(x, y, z) = z^2 x + z y
$$

**3. Izračunavanje linijskog integrala:**

Koristimo potencijalnu funkciju $$ \phi $$ za izračun integrala od točke $$ (1, 1, 1) $$ do $$ (2, 1, 3) $$:

$$
\int_{(1,1,1)}^{(2,1,3)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \phi(2, 1, 3) - \phi(1, 1, 1)
$$

Izračunajmo vrijednosti potencijalne funkcije u krajevima:

$$
\phi(2, 1, 3) = 3^2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 18 + 3 = 21
$$
$$
\phi(1, 1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2
$$

Dakle:

$$
\int_{(1,1,1)}^{(2,1,3)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 21 - 2 = 19
$$

**Odgovor:** Vektorsko polje je konzervativno, njegova potencijalna funkcija je $$ \phi(x, y, z) = z^{2}x + z y $$, a vrijednost linijskog integrala je **19**.
Vektorsko polje $$ \vec{F}(x, y, z) = \left(z^{2}, z, 2xz + y\right) $$ je konzervativno. Potencijalna funkcija je $$ \phi(x, y, z) = z^{2}x + z y $$. Vrijednost linijskog integrala od točke $$ (1,1,1) $$ do $$ (2,1,3) $$ je **19**.

6. (6 boda) Provjerite da je vektorsko polje \( \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, z, 2 x z+y\right) \) konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte \( \int_{(1,1,1,2)}^{(2,1,3)} \vec{F} d \vec{r} \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions