Question
- (6 boda) Provjerite da je vektorsko polje
konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte
.
konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte
Ask by Marshall Schmidt. in Croatia
Jan 21,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
Vektorsko polje
je konzervativno. Potencijalna funkcija je
. Vrijednost linijskog integrala od točke
do
je 19.
Solution
Provjerimo prvo je li vektorsko polje
konzervativno.
1. Provjera konzervativnosti:
Izračunajmo rotor (curl) vektorskog polja
:
Raspletimo determinantu:
Izračunajmo pojedinačne dijelove:
Dakle,
, što znači da je vektorsko polje konzervativno.
2. Pronalaženje potencijalne funkcije
:
Tražimo funkciju
takvu da je
:
Derivirajmo po
:
Dakle,
Derivirajmo po
:
Iz toga slijedi
, pa je
konstanta. Za jednostavnost postavimo konstantu na nulu:
3. Izračunavanje linijskog integrala:
Koristimo potencijalnu funkciju
za izračun integrala od točke
do
:
Izračunajmo vrijednosti potencijalne funkcije u krajevima:
Dakle:
Odgovor: Vektorsko polje je konzervativno, njegova potencijalna funkcija je
, a vrijednost linijskog integrala je 19.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg


Bonus Knowledge
Da bismo provjerili je li vektorsko polje
konzervativno, trebamo provjeriti je li njegovo rotaciono polje jednako nuli. Izračunavamo
:
Nakon izračuna, dobijamo da je
, što znači da je
konzervativno polje.
Sada pronalazimo potencijal
tako da
. Integrirajući komponente
redom, dolazimo do:
gdje je C konstanta integracije.
Za izračun integral
možemo koristiti teorem potencijala:
Izračunavajući
na tim točkama, dolazimo do rezultata.