Question
upstudy study bank question image url

  1. (6 boda) Provjerite da je vektorsko polje
    konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte .

Ask by Marshall Schmidt. in Croatia
Jan 21,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

Vektorsko polje je konzervativno. Potencijalna funkcija je . Vrijednost linijskog integrala od točke do je 19.

Solution

Provjerimo prvo je li vektorsko polje konzervativno.
1. Provjera konzervativnosti:
Izračunajmo rotor (curl) vektorskog polja :
Raspletimo determinantu:
Izračunajmo pojedinačne dijelove:
Dakle, , što znači da je vektorsko polje konzervativno.
2. Pronalaženje potencijalne funkcije :
Tražimo funkciju takvu da je :
Derivirajmo po :
Dakle,
Derivirajmo po :
Iz toga slijedi , pa je konstanta. Za jednostavnost postavimo konstantu na nulu:
3. Izračunavanje linijskog integrala:
Koristimo potencijalnu funkciju za izračun integrala od točke do :
Izračunajmo vrijednosti potencijalne funkcije u krajevima:
Dakle:
Odgovor: Vektorsko polje je konzervativno, njegova potencijalna funkcija je , a vrijednost linijskog integrala je 19.

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

error msg
Explain
Simplify this solution

Bonus Knowledge

Da bismo provjerili je li vektorsko polje konzervativno, trebamo provjeriti je li njegovo rotaciono polje jednako nuli. Izračunavamo :
Nakon izračuna, dobijamo da je , što znači da je konzervativno polje.
Sada pronalazimo potencijal tako da . Integrirajući komponente redom, dolazimo do:
gdje je C konstanta integracije.
Za izračun integral možemo koristiti teorem potencijala:
Izračunavajući na tim točkama, dolazimo do rezultata.

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy