(25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar ser tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de publicidad, en la función de demanda es el precio de cada servicio que se prestó y es el número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de servicios que maximiza la utilidad.

Ask by Peters Whittaker. in Chile

Jan 05,2025

Question

(25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar ser tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de publicidad, en la función de demanda es el precio de cada servicio que se prestó y es el número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de servicios que maximiza la utilidad.

Ask by Peters Whittaker. in Chile

Jan 05,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar el número de servicios $$ x $$ que maximiza la utilidad utilizando el criterio de la segunda derivada, seguimos los siguientes pasos:

### 1. **Definir la Función de Utilidad**

La utilidad $$ U(x) $$ se define como la diferencia entre los ingresos y los costos:

$$
U(x) = \text{Ingresos} - \text{Costos}
$$

**Ingresos ($$ R(x) $$):**

La función de demanda es $$ p(x) = 55 - \frac{x}{1000} $$. Los ingresos se obtienen multiplicando el precio por la cantidad de servicios prestados:

$$
R(x) = p(x) \cdot x = \left(55 - \frac{x}{1000}\right) x = 55x - \frac{x^2}{1000}
$$

**Costos ($$ C(x) $$):**

Dada la función de costos:

$$
C(x) = 1200 + 25x - 0.0001x^2
$$

**Función de Utilidad:**

$$
U(x) = R(x) - C(x) = \left(55x - \frac{x^2}{1000}\right) - \left(1200 + 25x - 0.0001x^2\right)
$$

Simplificando:

$$
U(x) = 55x - \frac{x^2}{1000} - 1200 - 25x + 0.0001x^2 = 30x - 0.0009x^2 - 1200
$$

### 2. **Encontrar la Primera Derivada de la Utilidad**

Para localizar los puntos críticos, derivamos $$ U(x) $$ respecto a $$ x $$:

$$
U'(x) = \frac{dU}{dx} = 30 - 0.0018x
$$

### 3. **Encontrar los Puntos Críticos**

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los valores críticos:

$$
30 - 0.0018x = 0 \
0.0018x = 30 \
x = \frac{30}{0.0018} = 16666.67
$$

### 4. **Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada**

Calculamos la segunda derivada de $$ U(x) $$:

$$
U''(x) = \frac{d^2U}{dx^2} = -0.0018
$$

Dado que $$ U''(x) = -0.0018 < 0 $$, la función de utilidad tiene un **máximo local** en $$ x = 16666.67 $$.

### 5. **Interpretación**

El número de servicios que maximiza la utilidad es aproximadamente **16,667 servicios**. Esto significa que la empresa debe prestar 16,667 servicios para alcanzar la máxima utilidad posible según las funciones dadas de costos y demanda.
Para maximizar la utilidad, la empresa debe prestar aproximadamente 16,667 servicios.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

1. Definir la Función de Utilidad

2. Encontrar la Primera Derivada de la Utilidad

3. Encontrar los Puntos Críticos

4. Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada

5. Interpretación

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