(25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar ser tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son: \[ \begin{array}{c} C(x)=1200+25 x-0,0001 x^{2} \\ p(x)=55-\frac{x}{1000} \end{array} \] Donde en la función de costos, \( C(x) \) es el costo de prestar \( x \) servicios al considerar los costos de publicidad, \( y \) en la función de demanda \( p \) es el precio de cada servicio que se prestó y \( x \) es el número de servicios prestados. (a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de servicios que maximiza la utilidad.

Para determinar el número de servicios \( x \) que maximiza la utilidad utilizando el criterio de la segunda derivada, seguimos los siguientes pasos: ### 1. **Definir la Función de Utilidad** La utilidad \( U(x) \) se define como la diferencia entre los ingresos y los costos: \[ U(x) = \text{Ingresos} - \text{Costos} \] **Ingresos (\( R(x) \)):** La función de demanda es \( p(x) = 55 - \frac{x}{1000} \). Los ingresos se obtienen multiplicando el precio por la cantidad de servicios prestados: \[ R(x) = p(x) \cdot x = \left(55 - \frac{x}{1000}\right) x = 55x - \frac{x^2}{1000} \] **Costos (\( C(x) \)):** Dada la función de costos: \[ C(x) = 1200 + 25x - 0.0001x^2 \] **Función de Utilidad:** \[ U(x) = R(x) - C(x) = \left(55x - \frac{x^2}{1000}\right) - \left(1200 + 25x - 0.0001x^2\right) \] Simplificando: \[ U(x) = 55x - \frac{x^2}{1000} - 1200 - 25x + 0.0001x^2 = 30x - 0.0009x^2 - 1200 \] ### 2. **Encontrar la Primera Derivada de la Utilidad** Para localizar los puntos críticos, derivamos \( U(x) \) respecto a \( x \): \[ U'(x) = \frac{dU}{dx} = 30 - 0.0018x \] ### 3. **Encontrar los Puntos Críticos** Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los valores críticos: \[ 30 - 0.0018x = 0 \\ 0.0018x = 30 \\ x = \frac{30}{0.0018} = 16666.67 \] ### 4. **Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada** Calculamos la segunda derivada de \( U(x) \): \[ U''(x) = \frac{d^2U}{dx^2} = -0.0018 \] Dado que \( U''(x) = -0.0018 < 0 \), la función de utilidad tiene un **máximo local** en \( x = 16666.67 \). ### 5. **Interpretación** El número de servicios que maximiza la utilidad es aproximadamente **16,667 servicios**. Esto significa que la empresa debe prestar 16,667 servicios para alcanzar la máxima utilidad posible según las funciones dadas de costos y demanda.