Encuentra el volumen del sólido formado al rotar la región bajo la curva $$ y = e^{x} $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 2 $$ en torno al eje horizontal que pasa por $$ y = -1 $$.

Question

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Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región bajo la curva $$ y = e^{x} $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 2 $$ alrededor del eje horizontal $$ y = -1 $$, utilizaremos el método de los anillos (o discos):

1. **Determinar los radios:**
   - **Radio externo $$ R(x) $$:** Es la distancia desde la curva $$ y = e^{x} $$ hasta el eje de rotación $$ y = -1 $$:
     $$
     R(x) = e^{x} - (-1) = e^{x} + 1
     $$
   - **Radio interno $$ r(x) $$:** Es la distancia desde el eje $$ y = 0 $$ (base de la región) hasta el eje de rotación $$ y = -1 $$:
     $$
     r(x) = 0 - (-1) = 1
     $$

2. **Configurar la integral para el volumen:**
   El volumen $$ V $$ está dado por:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} \left[ R(x)^2 - r(x)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{2} \left[ (e^{x} + 1)^2 - 1^2 \right] dx
   $$
   
   Desarrollando el integrando:
   $$
   (e^{x} + 1)^2 - 1 = e^{2x} + 2e^{x} + 1 - 1 = e^{2x} + 2e^{x}
   $$
   
   Por lo tanto, la integral se simplifica a:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} \left( e^{2x} + 2e^{x} \right) dx
   $$

3. **Calcular la integral:**
   $$
   V = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} + 2e^{x} \right]_{0}^{2}
   $$
   
   Evaluando en los límites:
   $$
   V = \pi \left( \frac{e^{4}}{2} + 2e^{2} - \left( \frac{e^{0}}{2} + 2e^{0} \right) \right) = \pi \left( \frac{e^{4}}{2} + 2e^{2} - \frac{5}{2} \right)
   $$
   
   Simplificando:
   $$
   V = \frac{\pi}{2} \left( e^{4} + 4e^{2} - 5 \right)
   $$

4. **Resultado numérico:**
   Calculando los valores aproximados:
   $$
   e^{2} \approx 7.389056 \quad \text{y} \quad e^{4} \approx 54.598150
   $$
   
   Sustituyendo:
   $$
   V \approx \frac{\pi}{2} \left( 54.598150 + 4 \times 7.389056 - 5 \right) = \frac{\pi}{2} \left( 54.598150 + 29.556224 - 5 \right) = \frac{\pi}{2} \times 79.154374
   $$
   
   Finalmente:
   $$
   V \approx \frac{3.1416}{2} \times 79.154374 \approx 124.246 \ \text{unidades cúbicas}
   $$

**Respuesta final:**
El volumen del sólido es aproximadamente 124.246 unidades cúbicas.
El volumen del sólido es aproximadamente 124.246 unidades cúbicas.

Encuentra el volumen del sólido formado al rotar la región bajo la curva desde hasta en torno al eje horizontal que pasa por .

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