Encuentra el volumen del sólido formado al rotar la región bajo la curva \( y = e^{x} \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 2 \) en torno al eje horizontal que pasa por \( y = -1 \).

Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región bajo la curva \( y = e^{x} \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 2 \) alrededor del eje horizontal \( y = -1 \), utilizaremos el método de los anillos (o discos): 1. **Determinar los radios:** - **Radio externo \( R(x) \):** Es la distancia desde la curva \( y = e^{x} \) hasta el eje de rotación \( y = -1 \): \[ R(x) = e^{x} - (-1) = e^{x} + 1 \] - **Radio interno \( r(x) \):** Es la distancia desde el eje \( y = 0 \) (base de la región) hasta el eje de rotación \( y = -1 \): \[ r(x) = 0 - (-1) = 1 \] 2. **Configurar la integral para el volumen:** El volumen \( V \) está dado por: \[ V = \pi \int_{0}^{2} \left[ R(x)^2 - r(x)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{2} \left[ (e^{x} + 1)^2 - 1^2 \right] dx \] Desarrollando el integrando: \[ (e^{x} + 1)^2 - 1 = e^{2x} + 2e^{x} + 1 - 1 = e^{2x} + 2e^{x} \] Por lo tanto, la integral se simplifica a: \[ V = \pi \int_{0}^{2} \left( e^{2x} + 2e^{x} \right) dx \] 3. **Calcular la integral:** \[ V = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} + 2e^{x} \right]_{0}^{2} \] Evaluando en los límites: \[ V = \pi \left( \frac{e^{4}}{2} + 2e^{2} - \left( \frac{e^{0}}{2} + 2e^{0} \right) \right) = \pi \left( \frac{e^{4}}{2} + 2e^{2} - \frac{5}{2} \right) \] Simplificando: \[ V = \frac{\pi}{2} \left( e^{4} + 4e^{2} - 5 \right) \] 4. **Resultado numérico:** Calculando los valores aproximados: \[ e^{2} \approx 7.389056 \quad \text{y} \quad e^{4} \approx 54.598150 \] Sustituyendo: \[ V \approx \frac{\pi}{2} \left( 54.598150 + 4 \times 7.389056 - 5 \right) = \frac{\pi}{2} \left( 54.598150 + 29.556224 - 5 \right) = \frac{\pi}{2} \times 79.154374 \] Finalmente: \[ V \approx \frac{3.1416}{2} \times 79.154374 \approx 124.246 \ \text{unidades cúbicas} \] **Respuesta final:** El volumen del sólido es aproximadamente 124.246 unidades cúbicas.