Question
2. Sea la funciön: \( y=-\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) \) Hallar la ecuaciön de la recta tangente a la cuna cue representa geoméricamente a dicha función en el punto \( x=2 \) (2 puntos)
Ask by John Murray. in Colombia
Jan 24,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
La ecuación de la recta tangente a la curva \( y = -\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) \) en el punto \( x = 2 \) es:
\[
y = \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)x + \left(4 \ln(6) + \frac{2}{3}\right)
\]
Solution
Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva \( y = -\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) \) en el punto donde \( x = 2 \), seguimos los siguientes pasos:
1. **Calcular \( y(2) \):**
\[
y(2) = -\frac{1}{2} (2)^2 \ln(2 + 4) = -2 \ln(6)
\]
2. **Encontrar la derivada \( y'(x) \):**
\[
y'(x) = -\frac{1}{2} \left( 2x \ln(x+4) + \frac{x^2}{x+4} \right) = -x \ln(x+4) - \frac{x^2}{2(x+4)}
\]
Evaluando en \( x = 2 \):
\[
y'(2) = -2 \ln(6) - \frac{4}{12} = -2 \ln(6) - \frac{1}{3}
\]
3. **Formar la ecuación de la recta tangente:**
Utilizando la fórmula \( y = y(a) + y'(a)(x - a) \), donde \( a = 2 \):
\[
y = -2 \ln(6) + \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)(x - 2)
\]
Simplificando:
\[
y = -2 \ln(6) - 2 \ln(6)(x - 2) - \frac{1}{3}(x - 2)
\]
\[
y = -2 \ln(6) x + 4 \ln(6) - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
\]
\[
y = \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)x + \left(4 \ln(6) + \frac{2}{3}\right)
\]
**Ecuación final de la recta tangente:**
\[
y = \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)x + \left(4 \ln(6) + \frac{2}{3}\right)
\]
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Extra Insights
Para hallar la ecuación de la recta tangente a la función \( y = -\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) \) en el punto \( x = 2 \), primero necesitamos encontrar el valor de \( y \) en ese punto. Sustituyendo \( x = 2 \), tenemos: \[ y(2) = -\frac{1}{2} (2)^{2} \ln(2 + 4) = -2 \ln(6) \] Luego, calculamos la derivada \( y' \) usando la regla del producto y la regla de la cadena. Una vez que tengamos \( y'(2) \), lo sustituimos para encontrar la pendiente de la tangente en ese punto. Finalmente, usamos la fórmula de la recta \( y - y_1 = m(x - x_1) \) para escribir la ecuación de la tangente. ¡Listo! Ahora solo queda disfrutar de la geometría de la cuna que representa esta función.
