2. Sea la funciön: $$ y=-\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) $$ Hallar la ecuaciön de la recta tangente a la cuna cue representa geoméricamente a dicha función en el punto $$ x=2 $$ (2 puntos)

Question

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Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $$ y = -\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) $$ en el punto donde $$ x = 2 $$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Calcular $$ y(2) $$:**
   $$
   y(2) = -\frac{1}{2} (2)^2 \ln(2 + 4) = -2 \ln(6)
   $$

2. **Encontrar la derivada $$ y'(x) $$:**
   $$
   y'(x) = -\frac{1}{2} \left( 2x \ln(x+4) + \frac{x^2}{x+4} \right) = -x \ln(x+4) - \frac{x^2}{2(x+4)}
   $$
   
   Evaluando en $$ x = 2 $$:
   $$
   y'(2) = -2 \ln(6) - \frac{4}{12} = -2 \ln(6) - \frac{1}{3}
   $$

3. **Formar la ecuación de la recta tangente:**
   Utilizando la fórmula $$ y = y(a) + y'(a)(x - a) $$, donde $$ a = 2 $$:
   $$
   y = -2 \ln(6) + \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)(x - 2)
   $$
   
   Simplificando:
   $$
   y = -2 \ln(6) - 2 \ln(6)(x - 2) - \frac{1}{3}(x - 2)
   $$
   $$
   y = -2 \ln(6) x + 4 \ln(6) - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
   $$
   $$
   y = \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)x + \left(4 \ln(6) + \frac{2}{3}\right)
   $$

**Ecuación final de la recta tangente:**
$$
y = \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)x + \left(4 \ln(6) + \frac{2}{3}\right)
$$
La ecuación de la recta tangente a la curva $$ y = -\frac{1}{2} x^{2} \ln (x+4) $$ en el punto $$ x = 2 $$ es: $$ y = \left(-2 \ln(6) - \frac{1}{3}\right)x + \left(4 \ln(6) + \frac{2}{3}\right) $$

Sea la funciön:
Hallar la ecuaciön de la recta tangente a la cuna
cue representa geoméricamente a dicha función
en el punto (2 puntos)

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