Esercizio 12.5 Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per i punti \( A \) e \( B \), dove; \( \begin{array}{l}\text { (i) } A=(-1,-1,0) \quad B=(-3,1,0) \\ \text { (ii) } A=(2,1,2) \quad B=(1,1,-1) \\ \text { (iii) } A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) \quad B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right)\end{array} \)

Per determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per due punti \( A \) e \( B \) nello spazio, seguiamo questi passaggi: 1. **Vettore direttore**: Calcolato come differenza tra le coordinate di \( B \) e \( A \). 2. **Equazioni parametriche**: Espressi le coordinate \( x \), \( y \), e \( z \) in funzione di un parametro \( t \). 3. **Equazioni cartesiane**: Eliminando il parametro, si ottengono le relazioni tra \( x \), \( y \), e \( z \). Applicando questi passaggi ai tre casi specificati: ### **(i) \( A=(-1,-1,0) \) e \( B=(-3,1,0) \)** - **Vettore direttore**: \( (-2, 2, 0) \) - **Parametriche**: \[ \begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 0 \end{cases} \] - **Cartesiane**: \[ y = -x - 2, \quad z = 0 \] ### **(ii) \( A=(2,1,2) \) e \( B=(1,1,-1) \)** - **Vettore direttore**: \( (-1, 0, -3) \) - **Parametriche**: \[ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = 2 - 3t \end{cases} \] - **Cartesiane**: \[ z = 3x - 4, \quad y = 1 \] ### **(iii) \( A=\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{5}, 1\right) \) e \( B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\right) \)** - **Vettore direttore**: \( \left(-2, -\frac{7}{5}, 2\right) \) - **Parametriche**: \[ \begin{cases} x = \frac{3}{2} - 2t \\ y = \frac{8}{5} - \frac{7}{5}t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] - **Cartesiane**: \[ \frac{x - \frac{3}{2}}{-2} = \frac{y - \frac{8}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{z - 1}{2} \] Questi risultati mostrano come si possono determinare le equazioni parametriche e cartesiane per ogni coppia di punti dati.