II- On considère la fonction $$ f $$ définie sur $$ / $$ par : $$ f(x)=x+\frac{1}{x}-(\ln x)^{2}-2 $$ El Soit $$ \left(C_{f}\right) $$ la courbe représentative de $$ f $$ dans un repère orthonormé $$ (O, \vec{i}, \bar{j}) $$. 1 Calculer : $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$ 2 Vérifier que : $$ (\forall x \in I), \quad f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) $$ 3 Calculer : $$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) $$ puis interpréter graphiquement ce résultat. 4 Étudier la branche infinie de $$ f $$ au voisinage de $$ +\infty $$.

Question

Mitchell Rogers · Accepted Answer

Pour vérifier que $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) $$ pour tout $$ x $$ dans $$ I $$, calculons $$ f\left(\frac{1}{x}\right) $$ : $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + x - (\ln\left(\frac{1}{x}\right))^2 - 2 = \frac{1}{x} + x - (\ln x)^2 - 2 = f(x) $$ Ainsi, $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) $$ pour tout $$ x $$ dans $$ I $$.

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