$$ \frac{d}{dx}(y)=x^{2}\sqrt {y} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای حل معادله دیفرانسیل $$ \frac{d}{dx}(y) = x^{2}\sqrt{y} $$، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. **جدا کردن متغیرها**: ابتدا معادله را به گونه‌ای تنظیم می‌کنیم که متغیرها جدا شوند. این کار را با تقسیم بر $$ \sqrt{y} $$ و ضرب در $$ dx $$ انجام می‌دهیم:

$$
   \frac{dy}{\sqrt{y}} = x^{2} dx
   $$

2. **انتگرال‌گیری**: حالا هر دو طرف معادله را انتگرال می‌گیریم:

$$
   \int \frac{dy}{\sqrt{y}} = \int x^{2} dx
   $$

انتگرال سمت چپ:

$$
   \int \frac{dy}{\sqrt{y}} = 2\sqrt{y} + C_1
   $$

انتگرال سمت راست:

$$
   \int x^{2} dx = \frac{x^{3}}{3} + C_2
   $$

3. **برابری انتگرال‌ها**: حالا دو انتگرال را برابر می‌گذاریم:

$$
   2\sqrt{y} = \frac{x^{3}}{3} + C
   $$

که در آن $$ C = C_2 - C_1 $$ یک ثابت جدید است.

4. **حل برای $$ y $$**: حالا می‌توانیم $$ y $$ را به دست آوریم:

$$
   \sqrt{y} = \frac{x^{3}}{6} + \frac{C}{2}
   $$

و با مربع کردن دو طرف:

$$
   y = \left(\frac{x^{3}}{6} + \frac{C}{2}\right)^{2}
   $$

این معادله، حل کلی معادله دیفرانسیل داده شده است.
برای حل معادله $$ \frac{d}{dx}(y) = x^{2}\sqrt{y} $$: 1. جدا کردن متغیرها: $$ \frac{dy}{\sqrt{y}} = x^{2} dx $$ 2. انتگرال‌گیری: $$ 2\sqrt{y} = \frac{x^{3}}{3} + C $$ 3. حل برای $$ y $$: $$ y = \left(\frac{x^{3}}{6} + \frac{C}{2}\right)^{2} $$ پس، راه‌حل معادله دیفرانسیل به این شکل است.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions