Question
Zadanie 3:
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
Ask by Bush Romero. in Poland
Feb 08,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
Funkcja
Solution
Rozważamy funkcję
f(x) = –5x² eˣ.
Krok 1. Obliczenie pochodnej:
Korzystamy z reguły iloczynu: dla u(x) = –5x² oraz v(x) = eˣ mamy
u′(x) = –10x oraz v′(x) = eˣ.
Stąd:
f′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x) = (–10x)eˣ + (–5x²)eˣ = eˣ(–10x – 5x²).
Wyłączamy wspólny czynnik:
f′(x) = –5eˣ (2x + x²) = –5eˣ x (x + 2).
Korzystamy z reguły iloczynu: dla u(x) = –5x² oraz v(x) = eˣ mamy
u′(x) = –10x oraz v′(x) = eˣ.
Stąd:
f′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x) = (–10x)eˣ + (–5x²)eˣ = eˣ(–10x – 5x²).
Wyłączamy wspólny czynnik:
f′(x) = –5eˣ (2x + x²) = –5eˣ x (x + 2).
Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych f′(x):
Ponieważ eˣ > 0 dla każdego x, to f′(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
–5 x (x + 2) = 0.
Rozwiązując:
x = 0 lub x + 2 = 0 ⇒ x = –2.
Ponieważ eˣ > 0 dla każdego x, to f′(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
–5 x (x + 2) = 0.
Rozwiązując:
x = 0 lub x + 2 = 0 ⇒ x = –2.
Krok 3. Badanie znaku pochodnej:
Funkcję f′(x) = –5eˣ x (x + 2) analizujemy na przedziałach wyznaczonych przez x = –2 oraz x = 0.
Funkcję f′(x) = –5eˣ x (x + 2) analizujemy na przedziałach wyznaczonych przez x = –2 oraz x = 0.
-
Dla x ∈ (–∞, –2):
Wybieramy np. x = –3.
x = –3 (ujemne), x + 2 = –3 + 2 = –1 (ujemne).
Iloczyn x(x + 2) = (–3)(–1) = 3 (dodatni). Mnożąc przez –5 (ujemne) uzyskujemy ujemny wynik,
więc f′(x) < 0. Funkcja jest malejąca. -
Dla x ∈ (–2, 0):
Wybieramy np. x = –1.
x = –1 (ujemne), x + 2 = –1 + 2 = 1 (dodatnie).
Iloczyn x(x + 2) = (–1)(1) = –1 (ujemny). Pomnożony przez –5 daje dodatnią wartość,
więc f′(x) > 0, a funkcja jest rosnąca. -
Dla x ∈ (0, ∞):
Wybieramy np. x = 1.
x = 1 (dodatnie), x + 2 = 3 (dodatnie).
Iloczyn x(x + 2) = (1)(3) = 3 (dodatni). Mnożąc przez –5 otrzymujemy wartość ujemną,
więc f′(x) < 0, a funkcja jest malejąca.
Podsumowując:
– Na (-∞, -2): f′(x) < 0 – funkcja maleje.
– Na (-2, 0): f′(x) > 0 – funkcja rośnie.
– Na (0, ∞): f′(x) < 0 – funkcja maleje.
– Na (-∞, -2): f′(x) < 0 – funkcja maleje.
– Na (-2, 0): f′(x) > 0 – funkcja rośnie.
– Na (0, ∞): f′(x) < 0 – funkcja maleje.
Krok 4. Wyznaczenie ekstremów lokalnych:
• W punkcie x = –2:
f′(x) zmienia znak z ujemnego (dla x < –2) na dodatni (dla x > –2), więc w punkcie x = –2 mamy
minimum lokalne.
Obliczamy wartość:
f(–2) = –5(–2)² e^(–2) = –5·4·e^(–2) = –20/e².
• W punkcie x = –2:
f′(x) zmienia znak z ujemnego (dla x < –2) na dodatni (dla x > –2), więc w punkcie x = –2 mamy
minimum lokalne.
Obliczamy wartość:
f(–2) = –5(–2)² e^(–2) = –5·4·e^(–2) = –20/e².
• W punkcie x = 0:
f′(x) zmienia znak z dodatniego (dla x < 0) na ujemny (dla x > 0), więc w punkcie x = 0 mamy
maksimum lokalne.
Obliczamy wartość:
f(0) = –5·0²·e⁰ = 0.
f′(x) zmienia znak z dodatniego (dla x < 0) na ujemny (dla x > 0), więc w punkcie x = 0 mamy
maksimum lokalne.
Obliczamy wartość:
f(0) = –5·0²·e⁰ = 0.
Ostatecznie:
Przedziały monotoniczności:
– Funkcja f jest malejąca na przedziałach (-∞, -2) oraz (0, ∞).
– Funkcja f jest rosnąca na przedziale (-2, 0).
– Funkcja f jest malejąca na przedziałach (-∞, -2) oraz (0, ∞).
– Funkcja f jest rosnąca na przedziale (-2, 0).
Ekstrema lokalne:
– Minimum lokalne: w punkcie x = -2, wartość f(-2) = –20/e².
– Maksimum lokalne: w punkcie x = 0, wartość f(0) = 0.
– Minimum lokalne: w punkcie x = -2, wartość f(-2) = –20/e².
– Maksimum lokalne: w punkcie x = 0, wartość f(0) = 0.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Beyond the Answer
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
Rozważając ekstrema lokalne, w punkcie
