$$ F(x)=x(3 x-4)^{2} $$, Caloular $$ y^{\prime \prime} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, calculemos la segunda derivada $$ y'' $$ de la función $$ y = x(3x - 4)^2 $$.

### Paso 1: Primera Derivada ($$ y' $$)

Usamos la regla del producto para derivar $$ y $$:

$$
y = x(3x - 4)^2
$$

$$
y' = \frac{d}{dx}\left[x\right] \cdot (3x - 4)^2 + x \cdot \frac{d}{dx}\left[(3x - 4)^2\right]
$$

Calculamos cada parte:

1. **Derivada de $$ x $$:**
   $$
   \frac{d}{dx}\left[x\right] = 1
   $$

2. **Derivada de $$ (3x - 4)^2 $$:**
   $$
   \frac{d}{dx}\left[(3x - 4)^2\right] = 2(3x - 4) \cdot 3 = 6(3x - 4)
   $$

Entonces,

$$
y' = 1 \cdot (3x - 4)^2 + x \cdot 6(3x - 4)
$$

Simplificamos:

$$
y' = (3x - 4)^2 + 6x(3x - 4)
$$

Podemos factorizar $$ (3x - 4) $$:

$$
y' = (3x - 4)[(3x - 4) + 6x] = (3x - 4)(9x - 4)
$$

### Paso 2: Segunda Derivada ($$ y'' $$)

Derivamos $$ y' $$:

$$
y' = (3x - 4)(9x - 4)
$$

Aplicamos la regla del producto nuevamente:

$$
y'' = \frac{d}{dx}\left[(3x - 4)\right] \cdot (9x - 4) + (3x - 4) \cdot \frac{d}{dx}\left[(9x - 4)\right]
$$

Calculamos cada derivada:

1. **Derivada de $$ (3x - 4) $$:**
   $$
   \frac{d}{dx}\left[3x - 4\right] = 3
   $$

2. **Derivada de $$ (9x - 4) $$:**
   $$
   \frac{d}{dx}\left[9x - 4\right] = 9
   $$

Entonces,

$$
y'' = 3(9x - 4) + (3x - 4) \cdot 9
$$

Simplificamos:

$$
y'' = 27x - 12 + 27x - 36 = 54x - 48
$$

Podemos factorizar si se desea:

$$
y'' = 6(9x - 8)
$$

### Resultado Final

La segunda derivada de la función es:

$$
y'' = 54x - 48
$$

O, factorada:

$$
y'' = 6(9x - 8)
$$
La segunda derivada $$ y'' $$ de la función $$ y = x(3x - 4)^2 $$ es $$ y'' = 54x - 48 $$.

\( F(x)=x(3 x-4)^{2} \), Caloular \( y^{\prime \prime} \)