Halla todos los valores del parámetro \( a \) para que la expresión \[ x^{2}-y^{2}+e^{x-y}=a(x-y) \] defina una solución en forma implícita de la ecuación diferencial \[ y^{\prime}=\frac{2(x-1)+e^{x-y}}{2(y-1)+e^{x-y}} \]

Para encontrar todos los valores del parámetro \( a \) que permiten que la expresión \( x^{2}-y^{2}+e^{x-y}=a(x-y) \) defina una solución implícita de la ecuación diferencial dada, sabemos que debemos cumplir con ciertas condiciones relacionadas con la relación de \( y' \) con cada lado de la ecuación implícita. Reorganizamos la ecuación dada y calculamos la derivada implícita; esto implicará usar la regla de la cadena y resolver para \( y' \). Luego, equipararemos nuestro resultado al término complejo de la ecuación diferencial: 1. Derivamos la expresión impícita respecto a \( x \) y obtenemos la forma de \( y' \). 2. Comparamos la forma derivada con la ecuación \( y'=\frac{2(x-1)+e^{x-y}}{2(y-1)+e^{x-y}} \). Al analizar las similitudes, podemos deducir qué valores de \( a \) nos permitirán igualar ambos lados. Al final, encontraremos que \[ a = 2 \] es un valor que permite la equivalencia. Además, revisando el signo del término involucrado y examinando el comportamiento de la derivada, podemos comprobar otros posibles valores o restricciones para \( a \), asegurando que las condiciones establecidas en la derivación se mantengan bajo estos valores. Así, los valores válidos de \( a \) son aquellos que mantengan la forma y dirección de las derivadas compatibles.