Halla todos los valores del parámetro $$ a $$ para que la expresión $$ x^{2}-y^{2}+e^{x-y}=a(x-y) $$ defina una solución en forma implícita de la ecuación diferencial $$ y^{\prime}=\frac{2(x-1)+e^{x-y}}{2(y-1)+e^{x-y}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar los valores del parámetro $$ a $$ que permiten que la expresión

$$
x^{2}-y^{2}+e^{x-y}=a(x-y)
$$

defina una solución implícita de la ecuación diferencial

$$
y^{\prime}=\frac{2(x-1)+e^{x-y}}{2(y-1)+e^{x-y}},
$$

realizamos los siguientes pasos:

1. **Definición de la función implícita:**
   
   Sea $$ F(x, y) = x^{2} - y^{2} + e^{x-y} - a(x - y) = 0 $$.

2. **Derivación implícita:**
   
   Aplicando la derivada implícita respecto a $$ x $$:

$$
   F_x + F_y y' = 0,
   $$
   
   donde:
   
   $$
   F_x = 2x + e^{x-y} - a,
   $$
   
   $$
   F_y = -2y - e^{x-y} + a.
   $$
   
   Entonces, la derivada es:

$$
   y' = -\frac{F_x}{F_y} = \frac{2x + e^{x-y} - a}{2y + e^{x-y} - a}.
   $$

3. **Igualación con la ecuación diferencial dada:**
   
   Para que $$ F(x, y) = 0 $$ sea una solución de la ecuación diferencial dada, debemos tener:

$$
   \frac{2x + e^{x-y} - a}{2y + e^{x-y} - a} = \frac{2(x - 1) + e^{x-y}}{2(y - 1) + e^{x-y}}.
   $$

4. **Simplificación de la ecuación resultante:**
   
   Al simplificar y cruzar los términos, obtenemos:

$$
   (-4 + 2a)x + (4 - 2a)y = 0.
   $$
   
   Para que esta igualdad se cumpla para todo $$ x $$ y $$ y $$ que satisfacen $$ F(x, y) = 0 $$, los coeficientes deben ser nulos:

$$
   -4 + 2a = 0 \quad \text{y} \quad 4 - 2a = 0.
   $$
   
   Resolviendo estas ecuaciones:

$$
   2a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2,
   $$
   
   $$
   4 - 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2.
   $$

5. **Conclusión:**
   
   El único valor que satisface ambas ecuaciones es $$ a = 2 $$.

**Respuesta Final:**

Todos los valores de $$ a $$ que satisfacen la condición son $$ a = 2 $$.
Todos los valores de $$ a $$ que hacen que la expresión defina una solución implícita de la ecuación diferencial son $$ a = 2 $$.

Halla todos los valores del parámetro para que la expresión

defina una solución en forma implícita de la ecuación diferencial

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions

Halla todos los valores del parámetro para que la expresión defina una solución en forma implícita de la ecuación diferencial